Страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40*. При каких значениях $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = a \end{cases}$ имеет только одно решение?

Для нахождения значений параметра $a$, при которых система имеет только одно решение, можно использовать алгебраический и графический методы.

Алгебраический способ

Рассмотрим данную систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = a \\x - y = a\end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$ и $a$:

$x = y + a$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y + a)^2 + y^2 = a$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 - a = 0$

$2y^2 + 2ay + (a^2 - a) = 0$

Исходная система будет иметь единственное решение в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение для $y$ будет иметь единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ квадратного уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $2y^2 + (2a)y + (a^2 - a) = 0$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - a) = 4a^2 - 8(a^2 - a) = 4a^2 - 8a^2 + 8a = -4a^2 + 8a$

Приравняем дискриминант к нулю:

$-4a^2 + 8a = 0$

Вынесем общий множитель $-4a$ за скобки:

$-4a(a - 2) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $a_1 = 0$ и $a_2 = 2$.

Необходимо также проверить, что при этих значениях $a$ система имеет смысл. Из первого уравнения $x^2 + y^2 = a$ следует, что $a \ge 0$, так как сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной. Оба найденных значения, $a=0$ и $a=2$, удовлетворяют этому условию. Таким образом, оба значения являются решениями.

Графический способ

Интерпретируем уравнения системы как графики функций на координатной плоскости $Oxy$.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = a$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$.

• Если $a > 0$, это окружность с радиусом $R = \sqrt{a}$.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 + y^2 = 0$, что соответствует единственной точке — началу координат $(0, 0)$.
• Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных решений.

Второе уравнение, $x - y = a$, можно переписать как $y = x - a$. Это уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $k=1$ и сдвигом по оси $y$ на $-a$.

Система имеет единственное решение, если графики этих двух уравнений имеют ровно одну общую точку. Это возможно в двух случаях:

1. Прямая касается окружности. Это возможно, когда $a > 0$. Условие касания заключается в том, что расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y - a = 0$ должно быть равно радиусу окружности $R = \sqrt{a}$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (так как мы рассматриваем случай $a>0$, то $|a|=a$).

Приравняем расстояние радиусу: $\frac{a}{\sqrt{2}} = \sqrt{a}$.

Возведем обе части в квадрат: $\frac{a^2}{2} = a \implies a^2 - 2a = 0 \implies a(a - 2) = 0$.

Поскольку мы рассматриваем случай $a > 0$, единственным решением здесь является $a = 2$.

2. Окружность вырождается в точку, и эта точка лежит на прямой. Это происходит при $a=0$. Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases}x^2+y^2=0 \\x-y=0\end{cases}$

Решением первого уравнения является только точка $(0,0)$. Подставив эти координаты во второе уравнение, получаем верное равенство $0-0=0$. Значит, точка $(0,0)$ лежит на прямой $y=x$. Следовательно, при $a=0$ система имеет единственное решение $(0,0)$.

Объединив результаты, полученные обоими способами, приходим к выводу, что система имеет единственное решение при $a=0$ и $a=2$.

Ответ: $a=0; 2$.

1.41. Проходит ли график функции $y=x^2-4x+3$ через точку:

1) A(2;-1);

2) B(2;1)?

Чтобы определить, проходит ли график функции через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки (x; y) в уравнение функции. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство будет неверным, то точка не принадлежит графику.

Задана функция: $y = x^2 - 4x + 3$.

1) A(2; -1)
Подставим координаты точки A, где $x = 2$ и $y = -1$, в уравнение функции:
$-1 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3$
$-1 = 4 - 8 + 3$
$-1 = -1$
Получилось верное равенство. Следовательно, график функции проходит через точку A(2; -1).
Ответ: да, проходит.

2) B(2; 1)
Подставим координаты точки B, где $x = 2$ и $y = 1$, в уравнение функции:
$1 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3$
$1 = 4 - 8 + 3$
$1 = -1$
Получилось неверное равенство. Следовательно, график функции не проходит через точку B(2; 1).
Ответ: нет, не проходит.

1.42. Без построения графиков укажите, в каких координатных четвертях расположен график функции:

1) $y=x^2+4$;

2) $xy=-4$.

1) Рассмотрим функцию $y=x^2+4$.

Для любого действительного числа $x$, значение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, для любого $x$ значение функции $y = x^2+4$ будет не меньше, чем $0+4=4$. То есть, для любой точки на графике выполняется условие $y \ge 4$.

Это означает, что ордината $y$ любой точки графика является положительным числом. Точки с положительной ординатой могут располагаться только в I ($x>0, y>0$) и II ($x<0, y>0$) координатных четвертях.

Поскольку переменная $x$ может принимать любые действительные значения (и положительные, и отрицательные), то график функции будет расположен в обеих этих четвертях. В III и IV четвертях, где $y<0$, график находиться не может.

Ответ: в I и II четвертях.

2) Рассмотрим функцию $xy=-4$.

Из этого уравнения следует, что произведение координат $x$ и $y$ для любой точки графика является отрицательным числом (-4). Произведение двух чисел отрицательно тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки.

Проанализируем знаки координат в каждой из четвертей:

- I четверть: $x>0$, $y>0$. Произведение $xy$ положительно. Следовательно, в этой четверти графика нет.

- II четверть: $x<0$, $y>0$. Произведение $xy$ отрицательно. Следовательно, в этой четверти график расположен.

- III четверть: $x<0$, $y<0$. Произведение $xy$ положительно. Следовательно, в этой четверти графика нет.

- IV четверть: $x>0$, $y<0$. Произведение $xy$ отрицательно. Следовательно, в этой четверти график расположен.

Таким образом, график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.