Страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Составьте текстовую задачу, которая решается с помощью системы уравнений и решите ее:

1)

$\begin{cases} m + n = 11, \\ mn = 28; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 3t_1 = 2t_2, \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3}. \end{cases}$

1)

Задача: Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 28 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение.

Обозначим длины сторон прямоугольника через $m$ и $n$.

Периметр прямоугольника равен $2(m+n)$. По условию, $2(m+n) = 22$, откуда получаем первое уравнение: $m+n=11$.

Площадь прямоугольника равна $mn$. По условию, $mn = 28$. Это второе уравнение.

Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений:

$$ \begin{cases} m + n = 11, \\ mn = 28 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $m$: $m = 11 - n$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $(11 - n)n = 28$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $11n - n^2 = 28$, или $n^2 - 11n + 28 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение — 28. Корнями являются числа 4 и 7.

Если $n=4$ см, то $m=11-4=7$ см.

Если $n=7$ см, то $m=11-7=4$ см.

В обоих случаях стороны прямоугольника равны 4 см и 7 см.

Ответ: 4 см и 7 см.

2)

Задача: Два насоса, работая совместно, наполняют бассейн за 3 часа. Производительность первого насоса в 1,5 раза выше, чем производительность второго. За сколько часов каждый насос наполнит бассейн, работая отдельно?

Решение.

Пусть $t_1$ — время, за которое первый насос наполняет бассейн, а $t_2$ — время, за которое его наполняет второй насос. Весь объем бассейна примем за 1.

Тогда производительность первого насоса (часть бассейна, наполняемая за час) равна $\frac{1}{t_1}$, а второго — $\frac{1}{t_2}$.

Когда насосы работают вместе, их производительности складываются. По условию, они наполняют бассейн за 3 часа, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{3}$. Получаем первое уравнение: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3}$.

По условию, производительность первого насоса в 1,5 раза выше, чем у второго: $\frac{1}{t_1} = 1,5 \cdot \frac{1}{t_2}$.

Запишем 1,5 в виде дроби $\frac{3}{2}$: $\frac{1}{t_1} = \frac{3}{2t_2}$. Отсюда, используя свойство пропорции, получаем $3t_1 = 2t_2$. Это второе уравнение.

Таким образом, задача сводится к решению системы:

$$ \begin{cases} 3t_1 = 2t_2, \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $t_2$ через $t_1$: $t_2 = \frac{3}{2}t_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{\frac{3}{2}t_1} = \frac{1}{3}$.

Упростим левую часть: $\frac{1}{t_1} + \frac{2}{3t_1} = \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $3t_1$: $\frac{3}{3t_1} + \frac{2}{3t_1} = \frac{1}{3}$, что дает $\frac{5}{3t_1} = \frac{1}{3}$.

Из пропорции следует $3t_1 = 5 \cdot 3$, то есть $3t_1 = 15$. Находим $t_1 = 5$ часов.

Теперь найдем $t_2$: $t_2 = \frac{3}{2}t_1 = \frac{3}{2} \cdot 5 = 7,5$ часов.

Ответ: первый насос наполнит бассейн за 5 часов, второй — за 7,5 часов.

1.43. Ширина прямоугольника на 3 см короче его длины, а их сумма равна 27 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна $l$ см, а ширина – $w$ см.
Из условия задачи известно, что ширина на 3 см короче длины. Это можно записать в виде уравнения:
$w = l - 3$
Также известно, что сумма длины и ширины равна 27 см. Составим второе уравнение:
$l + w = 27$
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для ее решения подставим выражение для $w$ из первого уравнения во второе:
$l + (l - 3) = 27$
Решим полученное уравнение относительно $l$:
$2l - 3 = 27$
$2l = 27 + 3$
$2l = 30$
$l = \frac{30}{2} = 15$
Таким образом, длина прямоугольника равна 15 см.
Теперь найдем ширину, используя первое уравнение:
$w = l - 3 = 15 - 3 = 12$
Ширина прямоугольника равна 12 см.
Проверим: сумма длины и ширины $15 + 12 = 27$ см, что соответствует условию.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = l \cdot w$. Подставим найденные значения длины и ширины:
$S = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Ответ: 180 см².

1.44. Возвращаясь домой из сада, Нурлан и Самат взяли с собой несколько яблок. По пути они встретили Берика, которому Нурлан дал одно яблоко, а Самат – два. После этого у всех трех приятелей количество яблок оказалось равным. Сколько яблок было первоначально у Нурлана и Самата по отдельности?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим переменными первоначальное количество яблок.
Пусть $Н$ — это количество яблок, которое было у Нурлана изначально.
Пусть $С$ — это количество яблок, которое было у Самата изначально.
У Берика, которого они встретили по пути, изначально было 0 яблок.

Нурлан отдал одно яблоко, значит, у него осталось $Н - 1$ яблок.
Самат отдал два яблока, значит, у него осталось $С - 2$ яблок.
Берик получил яблоки от обоих приятелей, и у него стало $0 + 1 + 2 = 3$ яблока.

В условии сказано, что после этого у всех троих количество яблок стало равным. Следовательно, мы можем приравнять количество яблок у каждого:
$Н - 1 = 3$
$С - 2 = 3$

Теперь решим эти два простых уравнения, чтобы найти первоначальное количество яблок у Нурлана и Самата.

Первоначальное количество яблок у Нурлана:
$Н - 1 = 3$
$Н = 3 + 1$
$Н = 4$

Первоначальное количество яблок у Самата:
$С - 2 = 3$
$С = 3 + 2$
$С = 5$

Проверим: если у Нурлана было 4 яблока, а у Самата 5, то после того как Нурлан отдал одно ($4 - 1 = 3$), а Самат — два ($5 - 2 = 3$), у обоих стало по 3 яблока. У Берика тоже стало 3 яблока. Условия задачи выполняются.

Ответ: первоначально у Нурлана было 4 яблока, а у Самата — 5 яблок.

1.45. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а сумма катетов – 14 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

По условию задачи дано:
Гипотенуза $c = 10$ см.
Сумма катетов $a + b = 14$ см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Для нахождения площади нам необходимо найти произведение катетов $ab$. Мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$
Подставим известное значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$

Теперь воспользуемся известной суммой катетов $a + b = 14$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$(a + b)^2 = 14^2$
$a^2 + 2ab + b^2 = 196$

В полученном выражении мы можем заменить сумму $a^2 + b^2$ на ее значение, равное 100:
$100 + 2ab = 196$

Теперь решим это уравнение относительно $2ab$:
$2ab = 196 - 100$
$2ab = 96$

Отсюда найдем произведение катетов $ab$:
$ab = \frac{96}{2} = 48$

Наконец, подставим значение $ab$ в формулу для площади треугольника:
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$

Таким образом, площадь треугольника составляет 24 см².

Ответ: 24 см².

1.46. Значение первой цифры двузначного числа на 4 больше значения второй цифры, а произведение их значений равно 21. Найдите это двузначное число.

Пусть первая цифра искомого двузначного числа (цифра в разряде десятков) равна $a$, а вторая цифра (цифра в разряде единиц) равна $b$. Само число можно представить в виде $10a + b$.

Из условия задачи нам известно, что значение первой цифры на 4 больше значения второй. Это можно записать в виде математического уравнения:

$a = b + 4$

Также нам дано, что произведение значений этих цифр равно 21. Это дает нам второе уравнение:

$a \cdot b = 21$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a = b + 4 \\ a \cdot b = 21 \end{cases}$

Для решения этой системы подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(b + 4) \cdot b = 21$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$b^2 + 4b = 21$

$b^2 + 4b - 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем дискриминант $D$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Теперь найдем возможные значения для $b$:

$b_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

$b_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

Поскольку $b$ — это цифра, она должна быть целым неотрицательным числом от 0 до 9. Корень $b_1 = -7$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Следовательно, единственно возможное значение для второй цифры — это $b = 3$.

Теперь, зная значение $b$, найдем первую цифру $a$ из первого уравнения системы:

$a = b + 4 = 3 + 4 = 7$

Первая цифра $a = 7$ также является допустимым значением (целое число от 1 до 9).

Итак, мы нашли цифры искомого числа: первая цифра равна 7, вторая — 3. Таким образом, искомое двузначное число — 73.

Выполним проверку:
1. Первая цифра 7 на 4 больше второй цифры 3: $7 - 3 = 4$. Условие выполняется.
2. Произведение цифр равно 21: $7 \cdot 3 = 21$. Условие выполняется.

Ответ: 73