Страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. Определите степени и количество переменных неравенств:

1) $4x^6-2x^7+x-1 < 0$;

2) $5y^2-y-2 > 0$;

3) $4xy+xy^2-5x^2+y \le 0$;

4) $8x^4y+5x^2y^2 \ge 11$;

5) $xy+xz+zy > 1$;

6) $xyz-x^2-y^2-z^2 > 2$;

7) $(x-y)z^2+(x+y)z \ge z^2$;

8) $(x^2+y^2-xy)^2 \le xy^2$;

9) $(z^2+x-y)^3 < x^2y^3z^4+1$.

Чтобы определить степень неравенства, необходимо привести его к виду $P(x_1, x_2, \dots, x_n) \vee 0$, где $P$ — многочлен, а $\vee$ — один из знаков $>, <, \geq, \leq$. Степенью неравенства называется степень многочлена $P$. Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Количество переменных — это число различных букв, обозначающих переменные.

1) В неравенстве $4x^6-2x^7+x-1 < 0$ присутствует одна переменная: $x$. Степень неравенства определяется старшей степенью одночленов, входящих в него. Одночлены в левой части: $4x^6$ (степень 6), $-2x^7$ (степень 7), $x$ (степень 1) и $-1$ (степень 0). Наибольшая степень равна 7.
Ответ: Степень 7, одна переменная ($x$).

2) В неравенстве $5y^2-y-2 > 0$ присутствует одна переменная: $y$. Одночлены в левой части: $5y^2$ (степень 2), $-y$ (степень 1) и $-2$ (степень 0). Наибольшая степень равна 2.
Ответ: Степень 2, одна переменная ($y$).

3) В неравенстве $4xy+xy^2-5x^2+y \leq 0$ присутствуют две переменные: $x$ и $y$. Определим степени одночленов:
степень $4xy$ ($4x^1y^1$) равна $1+1=2$;
степень $xy^2$ ($x^1y^2$) равна $1+2=3$;
степень $-5x^2$ равна 2;
степень $y$ ($y^1$) равна 1.
Наибольшая из этих степеней равна 3.
Ответ: Степень 3, две переменные ($x, y$).

4) Приведем неравенство к стандартному виду: $8x^4y+5x^2y^2-11 \geq 0$. В неравенстве присутствуют две переменные: $x$ и $y$. Определим степени одночленов:
степень $8x^4y$ ($8x^4y^1$) равна $4+1=5$;
степень $5x^2y^2$ равна $2+2=4$;
степень $-11$ равна 0.
Наибольшая степень равна 5.
Ответ: Степень 5, две переменные ($x, y$).

5) Приведем неравенство к стандартному виду: $xy+xz+zy-1 > 0$. В неравенстве присутствуют три переменные: $x$, $y$ и $z$. Определим степени одночленов:
степень $xy$ ($x^1y^1$) равна $1+1=2$;
степень $xz$ ($x^1z^1$) равна $1+1=2$;
степень $zy$ ($z^1y^1$) равна $1+1=2$;
степень $-1$ равна 0.
Наибольшая степень равна 2.
Ответ: Степень 2, три переменные ($x, y, z$).

6) Приведем неравенство к стандартному виду: $xyz-x^2-y^2-z^2-2 > 0$. В неравенстве присутствуют три переменные: $x$, $y$ и $z$. Определим степени одночленов:
степень $xyz$ ($x^1y^1z^1$) равна $1+1+1=3$;
степень $-x^2$ равна 2;
степень $-y^2$ равна 2;
степень $-z^2$ равна 2;
степень $-2$ равна 0.
Наибольшая степень равна 3.
Ответ: Степень 3, три переменные ($x, y, z$).

7) Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду: $(x-y)z^2+(x+y)z-z^2 \geq 0$, что равносильно $xz^2-yz^2+xz+yz-z^2 \geq 0$. В неравенстве присутствуют три переменные: $x$, $y$ и $z$. Определим степени одночленов:
степень $xz^2$ ($x^1z^2$) равна $1+2=3$;
степень $-yz^2$ ($-y^1z^2$) равна $1+2=3$;
степень $xz$ ($x^1z^1$) равна $1+1=2$;
степень $yz$ ($y^1z^1$) равна $1+1=2$;
степень $-z^2$ равна 2.
Наибольшая степень равна 3.
Ответ: Степень 3, три переменные ($x, y, z$).

8) Преобразуем неравенство, раскрыв скобки в левой части: $(x^2+y^2-xy)^2 - xy^2 \leq 0$. В неравенстве две переменные: $x$ и $y$. Для определения степени найдем старший член многочлена. При возведении в квадрат выражения $(x^2+y^2-xy)$, старшие члены будут иметь степень $2 \times 2 = 4$. Например, $(x^2)^2=x^4$, $2(x^2)(-xy)=-2x^3y$. Раскрытие скобок дает: $x^4+y^4+x^2y^2+2x^2y^2-2x^3y-2xy^3-xy^2 \leq 0$, или $x^4-2x^3y+3x^2y^2-2xy^3+y^4-xy^2 \leq 0$. Наибольшая степень одночленов ($x^4$, $-2x^3y$, $3x^2y^2$, $-2xy^3$, $y^4$) равна 4. Степень одночлена $-xy^2$ равна 3. Следовательно, степень всего неравенства равна 4.
Ответ: Степень 4, две переменные ($x, y$).

9) Приведем неравенство к стандартному виду: $(z^2+x-y)^3 - x^2y^3z^4-1 < 0$. В неравенстве три переменные: $x$, $y$ и $z$. Найдем наибольшую степень одночленов. Степень многочлена $(z^2+x-y)^3$ определяется старшим членом в его разложении. Старший член в скобках — $z^2$ (степень 2). При возведении в куб он даст $(z^2)^3=z^6$, степень которого равна 6. Степень одночлена $-x^2y^3z^4$ равна $2+3+4=9$. Степень $-1$ равна 0. Сравнивая степени 6, 9 и 0, находим, что наибольшая степень равна 9.
Ответ: Степень 9, три переменные ($x, y, z$).

1.68. Напишите уравнение окружности радиуса $R$ с центром в точке $(x_0;y_0)$:

1) $R=4$, $(0;0)$;

2) $R=2$, $(-1;0)$;

3) $R=3$, $(2;3)$.

Напишите неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю части этой окружности.

Общее каноническое уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$

Это уравнение описывает множество всех точек $(x, y)$, расстояние от которых до центра $(x_0, y_0)$ в точности равно радиусу $R$.

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности (открытый круг), описывает все точки, расстояние от которых до центра меньше радиуса:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < R^2$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности, описывает все точки, расстояние от которых до центра больше радиуса:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 > R^2$

Применим эти формулы для каждого из заданных случаев.

1) Дано: радиус $R=4$, центр в точке $(0; 0)$.

Подставляем значения $x_0=0$, $y_0=0$ и $R=4$ в общую формулу уравнения окружности:

$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 4^2$

Упрощаем и получаем уравнение окружности:

$x^2 + y^2 = 16$

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности:

$x^2 + y^2 < 16$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности:

$x^2 + y^2 > 16$

Ответ: Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 16$. Неравенство для внутренней части: $x^2 + y^2 < 16$. Неравенство для внешней части: $x^2 + y^2 > 16$.

2) Дано: радиус $R=2$, центр в точке $(-1; 0)$.

Подставляем значения $x_0=-1$, $y_0=0$ и $R=2$ в общую формулу:

$(x-(-1))^2 + (y-0)^2 = 2^2$

Упрощаем и получаем уравнение окружности:

$(x+1)^2 + y^2 = 4$

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности:

$(x+1)^2 + y^2 < 4$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности:

$(x+1)^2 + y^2 > 4$

Ответ: Уравнение окружности: $(x+1)^2 + y^2 = 4$. Неравенство для внутренней части: $(x+1)^2 + y^2 < 4$. Неравенство для внешней части: $(x+1)^2 + y^2 > 4$.

3) Дано: радиус $R=3$, центр в точке $(2; 3)$.

Подставляем значения $x_0=2$, $y_0=3$ и $R=3$ в общую формулу:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 3^2$

Упрощаем и получаем уравнение окружности:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9$

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 < 9$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 > 9$

Ответ: Уравнение окружности: $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9$. Неравенство для внутренней части: $(x-2)^2 + (y-3)^2 < 9$. Неравенство для внешней части: $(x-2)^2 + (y-3)^2 > 9$.

1.69. На координатной плоскости изобразите фигуры, заданные неравенствами:

1) $y>3x-4$;

2) $y \le 5-x$;

3) $x+y \ge 2$;

4) $0,5y-x<3$.

1) $y>3x-4$

Чтобы изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, сначала построим ее границу — прямую $y=3x-4$. Так как неравенство строгое (знак $>$), прямая будет изображена пунктирной линией.

Для построения прямой найдем координаты двух точек, принадлежащих ей:

- при $x=0$, $y=3(0)-4=-4$. Точка $(0, -4)$.

- при $x=2$, $y=3(2)-4=2$. Точка $(2, 2)$.

Проведем через эти точки пунктирную прямую. Эта прямая разделяет всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением неравенства, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего взять начало координат — точку $(0, 0)$.

Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 > 3(0) - 4$

$0 > -4$

Полученное неравенство верно. Это означает, что полуплоскость, в которой лежит точка $(0, 0)$, является решением. Заштрихуем область выше прямой $y=3x-4$.

Ответ: Искомая фигура — это открытая полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y=3x-4$.

2) $y\le5-x$

Граничной линией является прямая $y = 5-x$. Так как неравенство нестрогое (знак $\le$), линия будет сплошной.

Найдем две точки для построения прямой:

- при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.

- при $x=5$, $y=0$. Точка $(5, 0)$.

Проведем через эти точки сплошную прямую. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в неравенство:

$0 \le 5-0$

$0 \le 5$

Неравенство верное, значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область ниже прямой $y=5-x$, включая саму прямую.

Ответ: Искомая фигура — это замкнутая полуплоскость, расположенная ниже сплошной прямой $y=5-x$, включая саму прямую.

3) $x+y\ge2$

Сначала преобразуем неравенство, выразив $y$: $y \ge 2-x$.

Граничной линией является прямая $y = 2-x$. Неравенство нестрогое (знак $\ge$), поэтому линия будет сплошной.

Найдем две точки для построения прямой:

- при $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.

- при $x=2$, $y=0$. Точка $(2, 0)$.

Проведем сплошную прямую через эти точки. Для определения нужной полуплоскости используем пробную точку $(0, 0)$:

$0+0 \ge 2$

$0 \ge 2$

Это неравенство неверно. Следовательно, решением является полуплоскость, которая не содержит начало координат. Это область выше прямой $y=2-x$, включая саму прямую.

Ответ: Искомая фигура — это замкнутая полуплоскость, расположенная выше сплошной прямой $y=2-x$, включая саму прямую.

4) $0,5y-x<3$

Преобразуем неравенство: $0,5y < x+3$, что эквивалентно $y < 2x+6$.

Граничной линией является прямая $y = 2x+6$. Неравенство строгое (знак $<$), поэтому прямая будет пунктирной.

Найдем две точки для построения прямой:

- при $x=0$, $y=6$. Точка $(0, 6)$.

- при $x=-3$, $y=2(-3)+6=0$. Точка $(-3, 0)$.

Проведем пунктирную прямую через эти точки. Проверим, какая полуплоскость является решением, с помощью пробной точки $(0, 0)$:

$0,5(0) - 0 < 3$

$0 < 3$

Неравенство верное, значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область ниже прямой $y=2x+6$.

Ответ: Искомая фигура — это открытая полуплоскость, расположенная ниже пунктирной прямой $y=2x+6$.

1.70. Решите неравенства графически:

1) $x^2 + y^2 \le 81$;

2) $x^2 + y^2 > 9$;

3) $(x-3)^2 + (y+1)^2 < 25$.

1) $x^2+y^2 \le 81$

Данное неравенство описывает множество точек на координатной плоскости. Границей этой области является кривая, заданная уравнением $x^2+y^2=81$. Это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0,0)$, и радиусом $r = \sqrt{81} = 9$.

Знак неравенства "$\le$" (меньше или равно) означает, что в решение входят как точки, лежащие внутри окружности, так и точки, лежащие на самой окружности. Поэтому границу (окружность) мы изображаем сплошной линией.

Чтобы определить, какая область является решением (внутренняя или внешняя), выберем контрольную точку, не лежащую на границе. Удобно взять центр окружности, точку $(0,0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0^2 + 0^2 \le 81$

$0 \le 81$

Неравенство верное. Следовательно, решением является область, содержащая точку $(0,0)$, то есть круг, ограниченный данной окружностью.

Графически решение выглядит следующим образом:

Ответ: Решением неравенства является множество точек, образующих круг с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $9$, включая его границу (окружность).

2) $x^2+y^2 > 9$

Границей области, определяемой этим неравенством, является окружность $x^2+y^2=9$. Это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Знак неравенства "$>$" (строго больше) означает, что точки, лежащие на самой окружности, не входят в решение. Поэтому границу мы изображаем пунктирной линией.

Для определения области решения снова воспользуемся контрольной точкой $(0,0)$:

$0^2 + 0^2 > 9$

$0 > 9$

Это неверное неравенство. Значит, решением является область, не содержащая точку $(0,0)$, то есть все точки плоскости, лежащие вне окружности.

Графическое представление решения:

Ответ: Решением неравенства является множество точек плоскости, расположенных вне окружности с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $3$. Граница (окружность) в решение не входит.

3) $(x-3)^2+(y+1)^2 < 25$

Границей области является окружность, заданная уравнением $(x-3)^2+(y+1)^2 = 25$. Перепишем его в стандартном виде $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$:

$(x-3)^2+(y-(-1))^2 = 5^2$

Отсюда видно, что это окружность с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $r=5$.

Знак неравенства "$<" (строго меньше) означает, что точки на самой окружности в решение не включаются, поэтому граница изображается пунктирной линией.

Проверим, какая область является решением, с помощью контрольной точки. Удобнее всего взять центр окружности $(3, -1)$:

$(3-3)^2+(-1+1)^2 < 25$

$0^2 + 0^2 < 25$

$0 < 25$

Неравенство верное, значит, решением является область внутри окружности.

Графическое решение:

Ответ: Решением неравенства является множество точек, образующих открытый круг (внутренняя часть окружности без самой границы) с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $5$.

1.71. Постройте фигуры, заданные системой неравенств:

1) $\begin{cases} y \le x + 3, \\ y \ge 5 - 3x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2 \le x \le 5, \\ 1 \le y \le 4 \end{cases}$ (рис. 1.8);

3) $\begin{cases} -1 < x \le 2, \\ -5 \le y < -1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - 2x + 4 \ge 0, \\ 3y - 9x + 6 < 0. \end{cases}$

Рис. 1.8

1)

Для построения фигуры, заданной системой неравенств $ \begin{cases} y \le x + 3, \\ y \ge 5 - 3x; \end{cases} $, выполним следующие шаги:

1. Построим граничную прямую $y = x + 3$. Это прямая, проходящая, например, через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Неравенство $y \le x + 3$ задает полуплоскость, расположенную ниже этой прямой, включая саму прямую.

2. Построим вторую граничную прямую $y = 5 - 3x$. Она проходит, например, через точки $(0, 5)$ и $(1, 2)$. Неравенство $y \ge 5 - 3x$ задает полуплоскость выше этой прямой, включая саму прямую.

3. Найдем точку пересечения этих прямых, решив систему уравнений: $ \begin{cases} y = x + 3 \\ y = 5 - 3x \end{cases} $. Приравнивая правые части, получаем $x + 3 = 5 - 3x$, откуда $4x = 2$, то есть $x = 0.5$. Подставляя $x$ в любое из уравнений, находим $y = 0.5 + 3 = 3.5$. Таким образом, вершина искомой фигуры находится в точке $(0.5, 3.5)$.

4. Искомая фигура является пересечением двух полуплоскостей. Это бесконечная угловая область, ограниченная лучами, выходящими из точки $(0.5, 3.5)$.

Ответ: Искомая фигура — это бесконечная угловая область, ограниченная лучами $y = x+3$ и $y = 5-3x$ с вершиной в точке $(0.5, 3.5)$, как показано на графике.

2)

Фигура задана системой неравенств $ \begin{cases} 2 \le x \le 5, \\ 1 \le y \le 4. \end{cases} $. Эта система описывает прямоугольник.

1. Неравенство $2 \le x \le 5$ задает на плоскости вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x=2$ и $x=5$. Поскольку неравенства нестрогие, эти прямые являются границами фигуры.

2. Неравенство $1 \le y \le 4$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y=1$ и $y=4$, также включая эти прямые.

3. Пересечение этих двух полос образует замкнутый прямоугольник, вершины которого находятся в точках $(2, 1)$, $(5, 1)$, $(5, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Фигура является прямоугольником с вершинами в точках $(2, 1)$, $(5, 1)$, $(5, 4)$ и $(2, 4)$.

3)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} -1 < x \le 2, \\ -5 \le y < -1. \end{cases} $.

1. Двойное неравенство $-1 < x \le 2$ задает вертикальную полосу. Граница $x = -1$ не включается в фигуру (изображается пунктирной линией), а граница $x = 2$ включается (сплошная линия).

2. Двойное неравенство $-5 \le y < -1$ задает горизонтальную полосу. Граница $y = -5$ включается (сплошная линия), а граница $y = -1$ не включается (пунктирная линия).

3. Пересечением этих полос является прямоугольник с вершинами в точках $(-1, -5)$, $(2, -5)$, $(2, -1)$, $(-1, -1)$. Две его стороны ($x=2$ и $y=-5$) принадлежат фигуре, а две другие ($x=-1$ и $y=-1$) — нет.

Ответ: Фигура является прямоугольником, ограниченным прямыми $x=-1$, $x=2$, $y=-5$, $y=-1$. Границы $x=2$ и $y=-5$ включены в фигуру, а границы $x=-1$ и $y=-1$ — нет.

4)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} y - 2x + 4 \ge 0, \\ 3y - 9x + 6 < 0. \end{cases} $.

1. Преобразуем неравенства: Первое: $y - 2x + 4 \ge 0 \implies y \ge 2x - 4$. Второе: $3y - 9x + 6 < 0 \implies 3y < 9x - 6 \implies y < 3x - 2$.

2. Граница первой области — прямая $y = 2x - 4$. Неравенство нестрогое, поэтому прямая является частью фигуры (сплошная линия). Область решений — полуплоскость выше этой прямой.

3. Граница второй области — прямая $y = 3x - 2$. Неравенство строгое, поэтому прямая не входит в фигуру (пунктирная линия). Область решений — полуплоскость ниже этой прямой.

4. Найдем точку пересечения прямых: $2x - 4 = 3x - 2$, откуда $-x = 2$, то есть $x = -2$. Тогда $y = 2(-2) - 4 = -8$. Точка пересечения $(-2, -8)$.

5. Эта точка не удовлетворяет второму неравенству ($ -8 < 3(-2) - 2 \implies -8 < -8 $, что неверно), поэтому она не принадлежит фигуре (изображается "выколотой" точкой).

6. Искомая фигура — это область на плоскости, заключенная между прямыми $y = 2x-4$ и $y=3x-2$.

Ответ: Фигура является открытой угловой областью между прямыми $y=2x-4$ и $y=3x-2$. Граница $y=2x-4$ включена (кроме точки пересечения), а граница $y=3x-2$ не включена.

1.72. Лежит ли точка:

1) A(-1; 2)

2) B(0; -5)

3) $C\left(\frac{1}{3}; 4\right)$;

4) D(2; 2) в круге с радиусом 3, с центром в начале координат?

Круг с центром в начале координат (точка с координатами $(0; 0)$) и радиусом $R$ задается неравенством $x^2 + y^2 \le R^2$. В условии задачи дан радиус $R = 3$, следовательно, уравнение круга имеет вид $x^2 + y^2 \le 3^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 9$.

Чтобы определить, лежит ли точка в данном круге, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в это неравенство и проверить, является ли оно верным.

1) A(-1; 2)
Подставляем координаты точки A в левую часть неравенства:
$(-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Сравниваем результат с квадратом радиуса: $5 \le 9$.
Неравенство верное, значит, точка A лежит в круге.
Ответ: да.

2) B(0; -5)
Подставляем координаты точки B в левую часть неравенства:
$0^2 + (-5)^2 = 0 + 25 = 25$.
Сравниваем результат с квадратом радиуса: $25 \le 9$.
Неравенство неверное ($25 > 9$), значит, точка B не лежит в круге.
Ответ: нет.

3) C($\frac{1}{3}$; 4)
Подставляем координаты точки C в левую часть неравенства:
$(\frac{1}{3})^2 + 4^2 = \frac{1}{9} + 16 = 16\frac{1}{9}$.
Сравниваем результат с квадратом радиуса: $16\frac{1}{9} \le 9$.
Неравенство неверное ($16\frac{1}{9} > 9$), значит, точка C не лежит в круге.
Ответ: нет.

4) D(2; 2)
Подставляем координаты точки D в левую часть неравенства:
$2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.
Сравниваем результат с квадратом радиуса: $8 \le 9$.
Неравенство верное, значит, точка D лежит в круге.
Ответ: да.

1.73. Решите неравенства графически:

1) $y \le 3x^2$;

2) $y \ge 2x^2 - 3$;

3) $y < x^2 - 3x + 2$;

4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y \ge 4$;

5) $xy < 5$;

6) $y \ge \frac{x-1}{x+1}$.

1) $y \le 3x^2$

Границей области является парабола $y = 3x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), граница включается в решение и изображается сплошной линией. Чтобы определить, какую область закрашивать, выберем тестовую точку, не лежащую на параболе, например, $(1, 0)$. Подставим ее в неравенство: $0 \le 3 \cdot 1^2$, что равносильно $0 \le 3$. Это верно. Следовательно, решением является область, содержащая точку $(1, 0)$, то есть область под параболой.

Ответ:

2) $y \ge 2x^2 - 3$

Границей области является парабола $y = 2x^2 - 3$. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому граница рисуется сплошной линией и включается в решение. Возьмем тестовую точку $(0, 0)$. Подставляем в неравенство: $0 \ge 2 \cdot 0^2 - 3$, или $0 \ge -3$. Это верное утверждение. Значит, решением является область, содержащая начало координат, то есть область внутри (над) параболой.

Ответ:

3) $y < x^2 - 3x + 2$

Границей является парабола $y = x^2 - 3x + 2$. Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат: $y = (x^2 - 3x + 2.25) - 2.25 + 2 = (x - 1.5)^2 - 0.25$. Вершина параболы находится в точке $(1.5, -0.25)$, ветви направлены вверх. Неравенство строгое ($ < $), поэтому граница рисуется пунктирной линией и не включается в решение. Для проверки выберем точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 < 0^2 - 3 \cdot 0 + 2$, или $0 < 2$. Неравенство верное. Таким образом, решением является область, содержащая начало координат, то есть область вне (под) параболой.

Ответ:

4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y \ge 4$

Преобразуем неравенство, чтобы определить границу. Выделим полные квадраты для $x$ и $y$: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) \ge 4 + 1 + 4$, что дает $(x-1)^2 + (y+2)^2 \ge 9$. Границей является окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому окружность рисуется сплошной линией. Возьмем тестовую точку - центр окружности $(1, -2)$. Подставляем в исходное неравенство: $1^2 + (-2)^2 - 2(1) + 4(-2) \ge 4 \Rightarrow 1+4-2-8 \ge 4 \Rightarrow -5 \ge 4$. Это неверно. Следовательно, решением является область вне окружности, включая саму окружность.

Ответ:

5) $xy < 5$

Границей области является гипербола $xy = 5$, или $y = 5/x$. Ее ветви расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому граница рисуется пунктирной линией. Возьмем тестовую точку $(0, 0)$. Подставляем: $0 \cdot 0 < 5 \Rightarrow 0 < 5$. Это верно. Значит, решением является область, содержащая начало координат, то есть область между ветвями гиперболы.

Ответ:

6) $y \ge \frac{x-1}{x+1}$

Границей является график функции $y = \frac{x-1}{x+1}$. Преобразуем ее: $y = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$. Это гипербола, полученная из графика $y = -2/x$ сдвигом на 1 влево и на 1 вверх. Асимптоты: вертикальная $x=-1$ и горизонтальная $y=1$. Неравенство нестрогое ($ \ge $), граница рисуется сплошной линией. Возьмем тестовую точку $(0, 0)$. Подставляем: $0 \ge \frac{0-1}{0+1} \Rightarrow 0 \ge -1$. Это верно. Следовательно, решением является область, содержащая начало координат, то есть область между ветвями гиперболы.

Ответ: