Страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82*

1)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4(x + y - 1), \\ y \ge |x - 2|; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} |x - y| \le 2, \\ (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \le 0. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 4(x + y - 1) \\y \ge |x - 2|\end{cases}$

Сначала преобразуем первое неравенство. Перенесем все члены в левую часть и выделим полные квадраты:

$x^2 + y^2 \le 4x + 4y - 4$

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 4 \le 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) - 4 \le 0$

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \le 2^2$

Это неравенство описывает множество точек внутри и на границе окружности с центром в точке $C(2, 2)$ и радиусом $R=2$.

Второе неравенство $y \ge |x - 2|$ описывает множество точек, расположенных не ниже графика функции $y = |x - 2|$. График этой функции представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(2, 0)$, состоящий из двух лучей: $y = x - 2$ при $x \ge 2$ и $y = -(x - 2) = 2 - x$ при $x < 2$.

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение этих двух множеств. Изобразим их на координатной плоскости.

Найдем точки пересечения границ областей, решив систему уравнений:

$\begin{cases}(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 \\y = |x - 2|\end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(x - 2)^2 + (|x - 2| - 2)^2 = 4$

Так как $(x-2)^2 = |x-2|^2$, сделаем замену $u = |x-2|$, где $u \ge 0$:

$u^2 + (u - 2)^2 = 4$

$u^2 + u^2 - 4u + 4 = 4$

$2u^2 - 4u = 0$

$2u(u - 2) = 0$

Отсюда $u = 0$ или $u = 2$.

Если $u=0$, то $|x-2|=0$, что дает $x=2$. Тогда $y = |2-2|=0$. Получаем точку пересечения $(2, 0)$.

Если $u=2$, то $|x-2|=2$. Это дает два случая:

а) $x-2 = 2 \implies x=4$. Тогда $y=|4-2|=2$. Получаем точку пересечения $(4, 2)$.

б) $x-2 = -2 \implies x=0$. Тогда $y=|0-2|=2$. Получаем точку пересечения $(0, 2)$.

Таким образом, границы пересекаются в точках $(0, 2)$, $(2, 0)$ и $(4, 2)$.

Центр окружности, точка $(2, 2)$, удовлетворяет второму неравенству, так как $2 \ge |2-2|=0$. Следовательно, искомая область содержит центр окружности.

Решением системы является область, находящаяся внутри окружности $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \le 4$ и одновременно над "уголком" $y = |x - 2|$. Эта область ограничена снизу отрезками, соединяющими точки $(0,2)$, $(2,0)$ и $(4,2)$, а сверху — дугой окружности, соединяющей точки $(0,2)$ и $(4,2)$ и проходящей через точку $(2,4)$.

Ответ: Множество точек, являющееся решением системы, представляет собой сегмент круга с центром в $(2,2)$ и радиусом $2$, отсекаемый "уголком" $y=|x-2|$. Эта фигура ограничена снизу отрезками прямых, соединяющих точки $(0,2)$, $(2,0)$ и $(4,2)$, а сверху — дугой окружности, проходящей через точку $(2,4)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}|x - y| \le 2 \\(x + y) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \le 0\end{cases}$

Первое неравенство $|x - y| \le 2$ равносильно двойному неравенству $-2 \le x - y \le 2$.

Это можно записать в виде системы двух линейных неравенств:

$\begin{cases}x - y \le 2 \implies y \ge x - 2 \\x - y \ge -2 \implies y \le x + 2\end{cases}$

Это множество точек, расположенных между параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 2$, включая сами прямые.

Теперь рассмотрим второе неравенство. Область допустимых значений: $x \ne 0$ и $y \ne 0$. То есть, оси координат исключены.

Преобразуем выражение в скобках:

$(x + y) \left( \frac{y+x}{xy} \right) \le 0$

$\frac{(x + y)^2}{xy} \le 0$

Числитель $(x + y)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:

а) Числитель равен нулю: $(x+y)^2 = 0 \implies y = -x$. При этом должно выполняться условие $x \ne 0$ (и, следовательно, $y \ne 0$). Это прямая $y=-x$ без начала координат.

б) Числитель положителен, а знаменатель отрицателен: $(x+y)^2 > 0$ и $xy < 0$. Условие $xy < 0$ означает, что $x$ и $y$ имеют разные знаки. Это соответствует точкам во второй и четвертой координатных четвертях (без осей).

Таким образом, второе неравенство описывает множество точек, лежащих во второй и четвертой четвертях, а также на прямой $y=-x$ (за исключением точки $(0,0)$).

Решение системы — это пересечение двух найденных множеств. Это точки второй и четвертой четвертей, которые лежат в полосе между прямыми $y=x-2$ и $y=x+2$, а также отрезок прямой $y=-x$, заключенный в этой полосе.

- Во второй четверти ($x < 0, y > 0$): неравенство $y \ge x-2$ всегда выполнено, так как $y>0$, а $x-2<0$. Остается условие $y \le x+2$. Таким образом, в этой четверти решением является область $x<0, y>0, y \le x+2$. Это треугольник с вершинами в точках $(-2,0)$, $(0,2)$ и $(0,0)$. Границы на осях координат не включаются, а гипотенуза $y=x+2$ (от $(-2,0)$ до $(0,2)$) включается.

- В четвертой четверти ($x > 0, y < 0$): неравенство $y \le x+2$ всегда выполнено, так как $y<0$, а $x+2>0$. Остается условие $y \ge x-2$. Таким образом, в этой четверти решением является область $x>0, y<0, y \ge x-2$. Это треугольник с вершинами в точках $(2,0)$, $(0,-2)$ и $(0,0)$. Границы на осях координат не включаются, а гипотенуза $y=x-2$ (от $(2,0)$ до $(0,-2)$) включается.

- Для прямой $y = -x$: точки пересечения с границами полосы $y=x+2$ и $y=x-2$ находятся из уравнений $-x=x+2 \implies x=-1, y=1$ и $-x=x-2 \implies x=1, y=-1$. Таким образом, решением является отрезок прямой $y=-x$ от точки $(-1,1)$ до $(1,-1)$, за исключением точки $(0,0)$.

Итоговая фигура состоит из двух треугольных областей, примыкающих к началу координат, с включенными гипотенузами и исключенными катетами, лежащими на осях.

Ответ: Множество точек, являющееся решением системы, представляет собой объединение двух областей во второй и четвертой четвертях. Первая область — треугольник с вершинами в $(-2,0)$, $(0,2)$ и $(0,0)$. Вторая область — треугольник с вершинами в $(2,0)$, $(0,-2)$ и $(0,0)$. Гипотенузы этих треугольников (отрезки прямых $y=x+2$ и $y=x-2$) принадлежат множеству решений, а катеты, лежащие на осях координат, и начало координат — не принадлежат.

1.83. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x + y = 11, \\ xy = 24; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = \frac{4}{3}x; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 40; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 96, \\ x - y = 8. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 11, \\ xy = 24. \end{cases} $
Это система, которую удобно решать методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 11 - x$.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x(11 - x) = 24$.
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$11x - x^2 = 24$.
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 11x + 24 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 8.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 11 - 3 = 8$.
Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 11 - 8 = 3$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(3; 8)$, $(8; 3)$.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = \frac{4}{3}x. \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^2 = 25$.
Возведем в квадрат и упростим уравнение:
$x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 25$.
Сложим коэффициенты при $x^2$:
$\left(1 + \frac{16}{9}\right)x^2 = 25$
$\left(\frac{9}{9} + \frac{16}{9}\right)x^2 = 25$
$\frac{25}{9}x^2 = 25$.
Разделим обе части уравнения на 25:
$\frac{1}{9}x^2 = 1$.
Отсюда $x^2 = 9$, что дает два возможных значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(3; 4)$, $(-3; -4)$.

3) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 40. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 3 + y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(3 + y)y = 40$.
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$3y + y^2 = 40$
$y^2 + 3y - 40 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -40. Этим условиям удовлетворяют числа 5 и -8.
Таким образом, корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = -8$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:
Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 3 + 5 = 8$.
Если $y_2 = -8$, то $x_2 = 3 + (-8) = -5$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(8; 5)$, $(-5; -8)$.

4) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 96, \\ x - y = 8. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 8 + y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(8 + y)^2 + y^2 = 96$.
Используем формулу квадрата суммы для раскрытия скобок:
$(64 + 16y + y^2) + y^2 = 96$.
Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:
$2y^2 + 16y + 64 - 96 = 0$
$2y^2 + 16y - 32 = 0$.
Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:
$y^2 + 8y - 16 = 0$.
Так как корни не являются целыми числами, решим уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128$.
Найдем корни $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y = \frac{-8 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 \cdot 2}}{2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2}$.
Получаем два значения для $y$: $y_1 = -4 + 4\sqrt{2}$ и $y_2 = -4 - 4\sqrt{2}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x = 8 + y$:
Если $y_1 = -4 + 4\sqrt{2}$, то $x_1 = 8 + (-4 + 4\sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2}$.
Если $y_2 = -4 - 4\sqrt{2}$, то $x_2 = 8 + (-4 - 4\sqrt{2}) = 4 - 4\sqrt{2}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(4 + 4\sqrt{2}; -4 + 4\sqrt{2})$, $(4 - 4\sqrt{2}; -4 - 4\sqrt{2})$.

1.84. Решите неравенства:

1) $\frac{2 - \sqrt{3}}{2x - 1} \le 0;$

2) $\frac{2\sqrt{2} - 3}{4 + 5x} > 0;$

3) $\frac{2x + 1}{x - 2} < 2.$

1) $\frac{2-\sqrt{3}}{2x-1} \le 0$

Сначала определим знак числителя $2-\sqrt{3}$. Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{3}$.

Так как $2 = \sqrt{4}$ и $4 > 3$, то $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, а значит $2 > \sqrt{3}$.

Следовательно, числитель $2-\sqrt{3}$ является положительным числом.

Дробь будет меньше или равна нулю, если при положительном числителе ее знаменатель будет строго отрицательным (знаменатель не может быть равен нулю).

Получаем неравенство:

$2x - 1 < 0$

$2x < 1$

$x < \frac{1}{2}$

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $(-\infty; 0.5)$.

Ответ: $(-\infty; 0.5)$.

2) $\frac{2\sqrt{2}-3}{4+5x} > 0$

Определим знак числителя $2\sqrt{2}-3$. Сравним числа $2\sqrt{2}$ и $3$.

Возведем оба числа в квадрат: $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$ и $3^2 = 9$.

Так как $8 < 9$, то $2\sqrt{2} < 3$.

Следовательно, числитель $2\sqrt{2}-3$ является отрицательным числом.

Дробь будет больше нуля, если при отрицательном числителе ее знаменатель также будет отрицательным.

Получаем неравенство:

$4 + 5x < 0$

$5x < -4$

$x < -\frac{4}{5}$

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $(-\infty; -0.8)$.

Ответ: $(-\infty; -0.8)$.

3) $\frac{2x+1}{x-2} < 2$

Перенесем 2 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем. Нельзя умножать на знаменатель $(x-2)$, так как мы не знаем его знака.

$\frac{2x+1}{x-2} - 2 < 0$

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю:

$\frac{2x+1 - 2(x-2)}{x-2} < 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{2x+1 - 2x + 4}{x-2} < 0$

$\frac{5}{x-2} < 0$

Числитель дроби равен 5, что является положительным числом. Дробь будет отрицательной, если ее знаменатель будет отрицательным.

Получаем неравенство:

$x-2 < 0$

$x < 2$

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $(-\infty; 2)$.

Ответ: $(-\infty; 2)$.