Номер 1.82, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82*

1)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4(x + y - 1), \\ y \ge |x - 2|; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} |x - y| \le 2, \\ (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \le 0. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 4(x + y - 1) \\y \ge |x - 2|\end{cases}$

Сначала преобразуем первое неравенство. Перенесем все члены в левую часть и выделим полные квадраты:

$x^2 + y^2 \le 4x + 4y - 4$

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 4 \le 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) - 4 \le 0$

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \le 2^2$

Это неравенство описывает множество точек внутри и на границе окружности с центром в точке $C(2, 2)$ и радиусом $R=2$.

Второе неравенство $y \ge |x - 2|$ описывает множество точек, расположенных не ниже графика функции $y = |x - 2|$. График этой функции представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(2, 0)$, состоящий из двух лучей: $y = x - 2$ при $x \ge 2$ и $y = -(x - 2) = 2 - x$ при $x < 2$.

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение этих двух множеств. Изобразим их на координатной плоскости.

Найдем точки пересечения границ областей, решив систему уравнений:

$\begin{cases}(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 \\y = |x - 2|\end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(x - 2)^2 + (|x - 2| - 2)^2 = 4$

Так как $(x-2)^2 = |x-2|^2$, сделаем замену $u = |x-2|$, где $u \ge 0$:

$u^2 + (u - 2)^2 = 4$

$u^2 + u^2 - 4u + 4 = 4$

$2u^2 - 4u = 0$

$2u(u - 2) = 0$

Отсюда $u = 0$ или $u = 2$.

Если $u=0$, то $|x-2|=0$, что дает $x=2$. Тогда $y = |2-2|=0$. Получаем точку пересечения $(2, 0)$.

Если $u=2$, то $|x-2|=2$. Это дает два случая:

а) $x-2 = 2 \implies x=4$. Тогда $y=|4-2|=2$. Получаем точку пересечения $(4, 2)$.

б) $x-2 = -2 \implies x=0$. Тогда $y=|0-2|=2$. Получаем точку пересечения $(0, 2)$.

Таким образом, границы пересекаются в точках $(0, 2)$, $(2, 0)$ и $(4, 2)$.

Центр окружности, точка $(2, 2)$, удовлетворяет второму неравенству, так как $2 \ge |2-2|=0$. Следовательно, искомая область содержит центр окружности.

Решением системы является область, находящаяся внутри окружности $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \le 4$ и одновременно над "уголком" $y = |x - 2|$. Эта область ограничена снизу отрезками, соединяющими точки $(0,2)$, $(2,0)$ и $(4,2)$, а сверху — дугой окружности, соединяющей точки $(0,2)$ и $(4,2)$ и проходящей через точку $(2,4)$.

Ответ: Множество точек, являющееся решением системы, представляет собой сегмент круга с центром в $(2,2)$ и радиусом $2$, отсекаемый "уголком" $y=|x-2|$. Эта фигура ограничена снизу отрезками прямых, соединяющих точки $(0,2)$, $(2,0)$ и $(4,2)$, а сверху — дугой окружности, проходящей через точку $(2,4)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}|x - y| \le 2 \\(x + y) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \le 0\end{cases}$

Первое неравенство $|x - y| \le 2$ равносильно двойному неравенству $-2 \le x - y \le 2$.

Это можно записать в виде системы двух линейных неравенств:

$\begin{cases}x - y \le 2 \implies y \ge x - 2 \\x - y \ge -2 \implies y \le x + 2\end{cases}$

Это множество точек, расположенных между параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 2$, включая сами прямые.

Теперь рассмотрим второе неравенство. Область допустимых значений: $x \ne 0$ и $y \ne 0$. То есть, оси координат исключены.

Преобразуем выражение в скобках:

$(x + y) \left( \frac{y+x}{xy} \right) \le 0$

$\frac{(x + y)^2}{xy} \le 0$

Числитель $(x + y)^2$ всегда неотрицателен. Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:

а) Числитель равен нулю: $(x+y)^2 = 0 \implies y = -x$. При этом должно выполняться условие $x \ne 0$ (и, следовательно, $y \ne 0$). Это прямая $y=-x$ без начала координат.

б) Числитель положителен, а знаменатель отрицателен: $(x+y)^2 > 0$ и $xy < 0$. Условие $xy < 0$ означает, что $x$ и $y$ имеют разные знаки. Это соответствует точкам во второй и четвертой координатных четвертях (без осей).

Таким образом, второе неравенство описывает множество точек, лежащих во второй и четвертой четвертях, а также на прямой $y=-x$ (за исключением точки $(0,0)$).

Решение системы — это пересечение двух найденных множеств. Это точки второй и четвертой четвертей, которые лежат в полосе между прямыми $y=x-2$ и $y=x+2$, а также отрезок прямой $y=-x$, заключенный в этой полосе.

- Во второй четверти ($x < 0, y > 0$): неравенство $y \ge x-2$ всегда выполнено, так как $y>0$, а $x-2<0$. Остается условие $y \le x+2$. Таким образом, в этой четверти решением является область $x<0, y>0, y \le x+2$. Это треугольник с вершинами в точках $(-2,0)$, $(0,2)$ и $(0,0)$. Границы на осях координат не включаются, а гипотенуза $y=x+2$ (от $(-2,0)$ до $(0,2)$) включается.

- В четвертой четверти ($x > 0, y < 0$): неравенство $y \le x+2$ всегда выполнено, так как $y<0$, а $x+2>0$. Остается условие $y \ge x-2$. Таким образом, в этой четверти решением является область $x>0, y<0, y \ge x-2$. Это треугольник с вершинами в точках $(2,0)$, $(0,-2)$ и $(0,0)$. Границы на осях координат не включаются, а гипотенуза $y=x-2$ (от $(2,0)$ до $(0,-2)$) включается.

- Для прямой $y = -x$: точки пересечения с границами полосы $y=x+2$ и $y=x-2$ находятся из уравнений $-x=x+2 \implies x=-1, y=1$ и $-x=x-2 \implies x=1, y=-1$. Таким образом, решением является отрезок прямой $y=-x$ от точки $(-1,1)$ до $(1,-1)$, за исключением точки $(0,0)$.

Итоговая фигура состоит из двух треугольных областей, примыкающих к началу координат, с включенными гипотенузами и исключенными катетами, лежащими на осях.

Ответ: Множество точек, являющееся решением системы, представляет собой объединение двух областей во второй и четвертой четвертях. Первая область — треугольник с вершинами в $(-2,0)$, $(0,2)$ и $(0,0)$. Вторая область — треугольник с вершинами в $(2,0)$, $(0,-2)$ и $(0,0)$. Гипотенузы этих треугольников (отрезки прямых $y=x+2$ и $y=x-2$) принадлежат множеству решений, а катеты, лежащие на осях координат, и начало координат — не принадлежат.