Номер 1.80, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.80.

1) $xy \le 1$;

2) $|x|y \le 1$;

3) $x|y| \le 1$;

4) $|xy| \le 1$.

1) $xy \le 1$

Границей области является гипербола $xy = 1$, или в явном виде $y = 1/x$. Для определения множества точек, удовлетворяющих неравенству, рассмотрим три случая.
1. Если $x > 0$, неравенство можно разделить на $x$, сохранив знак: $y \le 1/x$. Это область, расположенная на и под ветвью гиперболы в первом квадранте. Эта область включает в себя также весь четвертый квадрант, где $x > 0$ и $y \le 0$, так как произведение $xy$ в этом случае неположительно и, следовательно, меньше или равно 1.
2. Если $x < 0$, при делении на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge 1/x$. Это область, расположенная на и над ветвью гиперболы в третьем квадранте. Эта область включает также весь второй квадрант, где $x < 0$ и $y > 0$, так как произведение $xy$ отрицательно.
3. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot y \le 1$, то есть $0 \le 1$, что верно для любого значения $y$. Таким образом, вся ось ординат ($Oy$) является частью решения.
Объединяя все случаи, получаем, что искомое множество точек — это область, заключенная "между" двумя ветвями гиперболы $y=1/x$, включая сами ветви и оси координат.

Ответ:

2) $|x|y \le 1$

Для решения этого неравенства раскроем модуль $|x|$.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и неравенство принимает вид $xy \le 1$. В правой полуплоскости ($x \ge 0$) решение совпадает с решением из пункта 1 для $x \ge 0$. Это область $y \le 1/x$ для $x > 0$ и вся ось $Oy$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и неравенство становится $-xy \le 1$, что равносильно $xy \ge -1$. Поскольку $x$ отрицателен, деление на него меняет знак неравенства: $y \le -1/x$. Границей в этом случае является гипербола $y = -1/x$, а решением — область на и под ее ветвью во второй четверти.
Искомое множество — это область, лежащая ниже кривой, образованной ветвью гиперболы $y = 1/x$ в первой четверти и ветвью гиперболы $y = -1/x$ во второй четверти, включая сами границы и ось $Oy$.

Ответ:

3) $x|y| \le 1$

Данное неравенство можно проанализировать, рассмотрев знаки $x$.
1. Если $x > 0$, неравенство можно переписать как $|y| \le 1/x$. Это эквивалентно двойному неравенству $-1/x \le y \le 1/x$. Геометрически это область, заключенная между ветвью гиперболы $y = 1/x$ в первом квадранте и ветвью гиперболы $y = -1/x$ в четвертом квадранте.
2. Если $x \le 0$, то произведение $x|y|$ является неположительным числом (либо отрицательным, либо нулем), так как $|y| \ge 0$. Любое неположительное число всегда меньше или равно 1, поэтому неравенство $x|y| \le 1$ выполняется для всех $x \le 0$ и любых $y$. Это соответствует всей левой полуплоскости, включая ось $Oy$.
Искомое множество является объединением всей левой полуплоскости ($x \le 0$) и области в правой полуплоскости ($x > 0$), заключенной между ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$.

Ответ:

4) $|xy| \le 1$

Неравенство $|xy| \le 1$ можно переписать в виде двойного неравенства: $-1 \le xy \le 1$. Границами искомой области являются две гиперболы: $xy = 1$ и $xy = -1$.
1. Если $x > 0$, деление на $x$ дает $-1/x \le y \le 1/x$. Это область, заключенная между ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$ в правой полуплоскости.
2. Если $x < 0$, деление на $x$ меняет знаки неравенств: $1/x \ge y \ge -1/x$, что эквивалентно $-1/x \le y \le 1/x$. Это область, заключенная между ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$ в левой полуплоскости.
3. Если $x = 0$, неравенство $|0| \le 1$ выполняется. Значит, ось $Oy$ входит в решение. Аналогично, при $y = 0$ ось $Ox$ также входит в решение.
Объединяя эти случаи, получаем, что искомое множество точек — это область, полностью заключенная между четырьмя ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$.

Ответ: