Номер 1.73, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. Решите неравенства графически:

1) $y \le 3x^2$;

2) $y \ge 2x^2 - 3$;

3) $y < x^2 - 3x + 2$;

4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y \ge 4$;

5) $xy < 5$;

6) $y \ge \frac{x-1}{x+1}$.

1) $y \le 3x^2$

Границей области является парабола $y = 3x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), граница включается в решение и изображается сплошной линией. Чтобы определить, какую область закрашивать, выберем тестовую точку, не лежащую на параболе, например, $(1, 0)$. Подставим ее в неравенство: $0 \le 3 \cdot 1^2$, что равносильно $0 \le 3$. Это верно. Следовательно, решением является область, содержащая точку $(1, 0)$, то есть область под параболой.

Ответ:

2) $y \ge 2x^2 - 3$

Границей области является парабола $y = 2x^2 - 3$. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому граница рисуется сплошной линией и включается в решение. Возьмем тестовую точку $(0, 0)$. Подставляем в неравенство: $0 \ge 2 \cdot 0^2 - 3$, или $0 \ge -3$. Это верное утверждение. Значит, решением является область, содержащая начало координат, то есть область внутри (над) параболой.

Ответ:

3) $y < x^2 - 3x + 2$

Границей является парабола $y = x^2 - 3x + 2$. Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат: $y = (x^2 - 3x + 2.25) - 2.25 + 2 = (x - 1.5)^2 - 0.25$. Вершина параболы находится в точке $(1.5, -0.25)$, ветви направлены вверх. Неравенство строгое ($ < $), поэтому граница рисуется пунктирной линией и не включается в решение. Для проверки выберем точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 < 0^2 - 3 \cdot 0 + 2$, или $0 < 2$. Неравенство верное. Таким образом, решением является область, содержащая начало координат, то есть область вне (под) параболой.

Ответ:

4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y \ge 4$

Преобразуем неравенство, чтобы определить границу. Выделим полные квадраты для $x$ и $y$: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) \ge 4 + 1 + 4$, что дает $(x-1)^2 + (y+2)^2 \ge 9$. Границей является окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому окружность рисуется сплошной линией. Возьмем тестовую точку - центр окружности $(1, -2)$. Подставляем в исходное неравенство: $1^2 + (-2)^2 - 2(1) + 4(-2) \ge 4 \Rightarrow 1+4-2-8 \ge 4 \Rightarrow -5 \ge 4$. Это неверно. Следовательно, решением является область вне окружности, включая саму окружность.

Ответ:

5) $xy < 5$

Границей области является гипербола $xy = 5$, или $y = 5/x$. Ее ветви расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому граница рисуется пунктирной линией. Возьмем тестовую точку $(0, 0)$. Подставляем: $0 \cdot 0 < 5 \Rightarrow 0 < 5$. Это верно. Значит, решением является область, содержащая начало координат, то есть область между ветвями гиперболы.

Ответ:

6) $y \ge \frac{x-1}{x+1}$

Границей является график функции $y = \frac{x-1}{x+1}$. Преобразуем ее: $y = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$. Это гипербола, полученная из графика $y = -2/x$ сдвигом на 1 влево и на 1 вверх. Асимптоты: вертикальная $x=-1$ и горизонтальная $y=1$. Неравенство нестрогое ($ \ge $), граница рисуется сплошной линией. Возьмем тестовую точку $(0, 0)$. Подставляем: $0 \ge \frac{0-1}{0+1} \Rightarrow 0 \ge -1$. Это верно. Следовательно, решением является область, содержащая начало координат, то есть область между ветвями гиперболы.

Ответ: