Номер 1.68, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. Напишите уравнение окружности радиуса $R$ с центром в точке $(x_0;y_0)$:

1) $R=4$, $(0;0)$;

2) $R=2$, $(-1;0)$;

3) $R=3$, $(2;3)$.

Напишите неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю части этой окружности.

Общее каноническое уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$

Это уравнение описывает множество всех точек $(x, y)$, расстояние от которых до центра $(x_0, y_0)$ в точности равно радиусу $R$.

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности (открытый круг), описывает все точки, расстояние от которых до центра меньше радиуса:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < R^2$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности, описывает все точки, расстояние от которых до центра больше радиуса:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 > R^2$

Применим эти формулы для каждого из заданных случаев.

1) Дано: радиус $R=4$, центр в точке $(0; 0)$.

Подставляем значения $x_0=0$, $y_0=0$ и $R=4$ в общую формулу уравнения окружности:

$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 4^2$

Упрощаем и получаем уравнение окружности:

$x^2 + y^2 = 16$

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности:

$x^2 + y^2 < 16$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности:

$x^2 + y^2 > 16$

Ответ: Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 16$. Неравенство для внутренней части: $x^2 + y^2 < 16$. Неравенство для внешней части: $x^2 + y^2 > 16$.

2) Дано: радиус $R=2$, центр в точке $(-1; 0)$.

Подставляем значения $x_0=-1$, $y_0=0$ и $R=2$ в общую формулу:

$(x-(-1))^2 + (y-0)^2 = 2^2$

Упрощаем и получаем уравнение окружности:

$(x+1)^2 + y^2 = 4$

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности:

$(x+1)^2 + y^2 < 4$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности:

$(x+1)^2 + y^2 > 4$

Ответ: Уравнение окружности: $(x+1)^2 + y^2 = 4$. Неравенство для внутренней части: $(x+1)^2 + y^2 < 4$. Неравенство для внешней части: $(x+1)^2 + y^2 > 4$.

3) Дано: радиус $R=3$, центр в точке $(2; 3)$.

Подставляем значения $x_0=2$, $y_0=3$ и $R=3$ в общую формулу:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 3^2$

Упрощаем и получаем уравнение окружности:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9$

Неравенство, определяющее внутреннюю часть окружности:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 < 9$

Неравенство, определяющее внешнюю часть окружности:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 > 9$

Ответ: Уравнение окружности: $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9$. Неравенство для внутренней части: $(x-2)^2 + (y-3)^2 < 9$. Неравенство для внешней части: $(x-2)^2 + (y-3)^2 > 9$.