Номер 1.62, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.62. С первого земельного участка было собрано 2880 ц урожая, а со второго участка, площадь которого меньше на 12 га, – 2160 ц. Известно, что с каждого гектара первого участка было собрано на 4 ц больше, чем с каждого гектара второго участка. Найдите площадь каждого участка.

Пусть $x$ га — площадь первого земельного участка.
Поскольку площадь второго участка на 12 га меньше, то его площадь составляет $(x - 12)$ га.
Урожайность — это количество урожая, собранного с единицы площади.
Урожайность первого участка равна $\frac{2880}{x}$ ц/га.
Урожайность второго участка равна $\frac{2160}{x - 12}$ ц/га.
Из условия известно, что с каждого гектара первого участка было собрано на 4 ц больше, чем с каждого гектара второго. Составим уравнение на основе этого условия:
$\frac{2880}{x} - \frac{2160}{x - 12} = 4$
Область допустимых значений для $x$: площадь не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому $x > 0$ и $x - 12 > 0$, откуда $x > 12$.
Для решения уравнения разделим обе его части на 4, чтобы упростить вычисления:
$\frac{720}{x} - \frac{540}{x - 12} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 12)$:
$\frac{720(x - 12) - 540x}{x(x - 12)} = 1$
Умножим обе части на знаменатель $x(x - 12)$, так как мы уже установили, что он не равен нулю ($x > 12$):
$720(x - 12) - 540x = x(x - 12)$
Раскроем скобки:
$720x - 8640 - 540x = x^2 - 12x$
Приведем подобные слагаемые:
$180x - 8640 = x^2 - 12x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 12x - 180x + 8640 = 0$
$x^2 - 192x + 8640 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-192)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8640 = 36864 - 34560 = 2304$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$
$x_1 = \frac{192 + 48}{2} = \frac{240}{2} = 120$
$x_2 = \frac{192 - 48}{2} = \frac{144}{2} = 72$
Оба корня ($120$ и $72$) больше 12, следовательно, оба являются возможными решениями задачи. Рассмотрим оба случая.

Случай 1:
Площадь первого участка $x_1 = 120$ га.
Тогда площадь второго участка: $120 - 12 = 108$ га.
Проверим урожайность:
Урожайность первого участка: $\frac{2880}{120} = 24$ ц/га.
Урожайность второго участка: $\frac{2160}{108} = 20$ ц/га.
Разница в урожайности: $24 - 20 = 4$ ц/га. Это соответствует условию задачи.

Случай 2:
Площадь первого участка $x_2 = 72$ га.
Тогда площадь второго участка: $72 - 12 = 60$ га.
Проверим урожайность:
Урожайность первого участка: $\frac{2880}{72} = 40$ ц/га.
Урожайность второго участка: $\frac{2160}{60} = 36$ ц/га.
Разница в урожайности: $40 - 36 = 4$ ц/га. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: площадь первого участка 120 га, второго — 108 га; или площадь первого участка 72 га, второго — 60 га.