Номер 1.55, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. Скорость катера на 16 км больше скорости течения реки. Катер за 2 ч проплыл 18 км по течению реки и 20 км против течения реки. Каковы скорости катера и течения реки?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_к$ (км/ч) — собственная скорость катера, а $v_т$ (км/ч) — скорость течения реки.

Исходя из первого условия, скорость катера на 16 км/ч больше скорости течения. Это можно записать в виде уравнения:

$v_к = v_т + 16$

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = v_к + v_т$.

Скорость катера при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против~теч.} = v_к - v_т$.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое катер затратил на 18 км по течению, равно: $t_1 = \frac{18}{v_к + v_т}$.

Время, которое катер затратил на 20 км против течения, равно: $t_2 = \frac{20}{v_к - v_т}$.

Общее время в пути составляет 2 часа, что позволяет нам составить второе уравнение:

$t_1 + t_2 = 2$

$\frac{18}{v_к + v_т} + \frac{20}{v_к - v_т} = 2$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1. $v_к = v_т + 16$

2. $\frac{18}{v_к + v_т} + \frac{20}{v_к - v_т} = 2$

Подставим выражение для $v_к$ из первого уравнения во второе. Для этого сначала выразим знаменатели через $v_т$:

$v_к + v_т = (v_т + 16) + v_т = 2v_т + 16$

$v_к - v_т = (v_т + 16) - v_т = 16$

Теперь подставим полученные выражения в уравнение времени:

$\frac{18}{2v_т + 16} + \frac{20}{16} = 2$

Решим это уравнение относительно $v_т$. Упростим его:

$\frac{18}{2(v_т + 8)} + \frac{5}{4} = 2$

$\frac{9}{v_т + 8} + 1.25 = 2$

$\frac{9}{v_т + 8} = 2 - 1.25$

$\frac{9}{v_т + 8} = 0.75$

Представим 0.75 в виде дроби $\frac{3}{4}$:

$\frac{9}{v_т + 8} = \frac{3}{4}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$3 \cdot (v_т + 8) = 9 \cdot 4$

$3v_т + 24 = 36$

$3v_т = 36 - 24$

$3v_т = 12$

$v_т = \frac{12}{3}$

$v_т = 4$

Скорость течения реки равна 4 км/ч. Теперь найдем собственную скорость катера, подставив значение $v_т$ в первое уравнение:

$v_к = 4 + 16 = 20$

Собственная скорость катера равна 20 км/ч.

Проверка:
Время по течению: $\frac{18}{20+4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ часа = 45 минут.
Время против течения: $\frac{20}{20-4} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ часа = 1 час 15 минут.
Общее время: $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ часа.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость катера 20 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч.