Номер 1.58, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58. Расстояние между станциями А и В равно 120 км. Вслед за поездом, вышедшим из А в В, через 3 ч в этом же направлении отправился второй поезд, скорость которого на 10 км/ч больше скорости первого поезда. Известно, что первый поезд прибыл на станцию В на 2 ч раньше, чем второй. За сколько часов пройдет путь от А до В второй поезд?

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (в км/ч) — скорость второго поезда. Пусть $t_1$ (в часах) и $t_2$ (в часах) — их время в пути соответственно. Расстояние между станциями A и B равно $S = 120$ км.

Согласно условию задачи, скорость второго поезда на 10 км/ч больше скорости первого:$v_2 = v_1 + 10$

Время в пути для каждого поезда можно выразить через расстояние и скорость по формуле $t = S/v$:$t_1 = \frac{120}{v_1}$$t_2 = \frac{120}{v_2} = \frac{120}{v_1 + 10}$

Определим связь между временем в пути поездов. Второй поезд отправился на 3 часа позже первого, а первый поезд прибыл на станцию B на 2 часа раньше второго.Если принять за 0 момент отправления первого поезда, то его время прибытия будет $T_{приб1} = t_1$.Второй поезд отправился в момент времени 3 часа, поэтому его время прибытия будет $T_{приб2} = 3 + t_2$.Поскольку первый поезд прибыл на 2 часа раньше, то $T_{приб1} = T_{приб2} - 2$.Подставим выражения для времени прибытия:$t_1 = (3 + t_2) - 2$$t_1 = t_2 + 1$Это означает, что первый поезд был в пути на 1 час дольше, чем второй.

Теперь составим уравнение, подставив выражения для $t_1$ и $t_2$ через скорость $v_1$:$\frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_1 + 10} + 1$$\frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_1 + 10} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(v_1 + 10)$:$\frac{120(v_1 + 10) - 120v_1}{v_1(v_1 + 10)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель, при условии что $v_1 \neq 0$ и $v_1 \neq -10$, что выполняется, так как скорость является положительной величиной:$120(v_1 + 10) - 120v_1 = v_1(v_1 + 10)$$120v_1 + 1200 - 120v_1 = v_1^2 + 10v_1$$1200 = v_1^2 + 10v_1$

Мы получили квадратное уравнение:$v_1^2 + 10v_1 - 1200 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 = 70^2$Найдем корни уравнения:$v_{1,1} = \frac{-10 - 70}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$v_{1,2} = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Так как скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $v_1 = 30$ км/ч.Теперь найдем скорость второго поезда:$v_2 = v_1 + 10 = 30 + 10 = 40$ км/ч.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти, за сколько часов пройдет путь от А до В второй поезд. Вычислим время $t_2$:$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{120 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.