Номер 1.64, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. Два тела движутся по окружности в одном направлении. Одно из них совершает полный оборот на 2 с раньше другого. Известно, что они встречаются через каждые 60 с. Какую часть окружности преодолевает каждое тело за 1 с?

Обозначим периоды обращения двух тел как $T_1$ и $T_2$. Период обращения — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Пусть тело 1 — то, которое движется быстрее, тогда его период обращения меньше, чем у тела 2 ($T_1 < T_2$).

Согласно условию задачи, одно из тел совершает полный оборот на 2 секунды раньше другого. Это означает, что разница их периодов составляет 2 секунды. Так как мы приняли, что тело 1 быстрее:$T_2 - T_1 = 2 \text{ с}$, или $T_2 = T_1 + 2$.

Также известно, что тела встречаются каждые $t_{встр} = 60$ с. Поскольку тела движутся в одном направлении, встреча происходит, когда более быстрое тело "догоняет" более медленное, то есть проходит на один полный круг больше, чем второе тело, за то же время.

Часть окружности, которую тело преодолевает за 1 секунду, равна его частоте обращения $n = 1/T$. За время $t_{встр}$ первое тело совершит $N_1 = n_1 \cdot t_{встр} = \frac{t_{встр}}{T_1}$ оборотов, а второе — $N_2 = n_2 \cdot t_{встр} = \frac{t_{встр}}{T_2}$ оборотов. Условие встречи означает, что разница в количестве совершенных оборотов равна целому числу. Для времени между последовательными встречами эта разница равна 1:$N_1 - N_2 = 1$$\frac{t_{встр}}{T_1} - \frac{t_{встр}}{T_2} = 1$

Подставим известное значение $t_{встр} = 60$ с:$\frac{60}{T_1} - \frac{60}{T_2} = 1$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $T_2 = T_1 + 2$
2) $\frac{60}{T_1} - \frac{60}{T_2} = 1$

Подставим выражение для $T_2$ из первого уравнения во второе:$\frac{60}{T_1} - \frac{60}{T_1 + 2} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$60 \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_1 + 2} \right) = 1$$60 \left( \frac{T_1 + 2 - T_1}{T_1(T_1 + 2)} \right) = 1$$60 \left( \frac{2}{T_1^2 + 2T_1} \right) = 1$$\frac{120}{T_1^2 + 2T_1} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение:$T_1^2 + 2T_1 = 120$$T_1^2 + 2T_1 - 120 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 = 22^2$Корни уравнения:$T_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 22}{2}$

Получаем два возможных значения для $T_1$:$T_{1,1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$ с$T_{1,2} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ с

Поскольку время (период) не может быть отрицательной величиной, единственное физически осмысленное решение — это $T_1 = 10$ с.Теперь найдем период второго тела:$T_2 = T_1 + 2 = 10 + 2 = 12$ с.

Вопрос задачи: какую часть окружности преодолевает каждое тело за 1 секунду? Эта величина равна $n = 1/T$.Для первого (быстрого) тела: $n_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{10}$.Для второго (медленного) тела: $n_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{12}$.

Ответ: Первое тело за 1 секунду преодолевает $\frac{1}{10}$ часть окружности, а второе — $\frac{1}{12}$ часть окружности.