Номер 1.57, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.57. Катер прошел 20 км вверх по реке и 30 км вниз, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч?

Решение:

Обозначим искомую скорость течения реки за $x$ км/ч.
Согласно условию, собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна 25 км/ч.
Тогда скорость катера при движении вверх по реке (против течения) составляет $(25 - x)$ км/ч.
Скорость катера при движении вниз по реке (по течению) составляет $(25 + x)$ км/ч.
Заметим, что для того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x < 25$.

Время, которое катер затратил на путь вверх по реке, вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S = 20$ км, а $v = (25 - x)$ км/ч:
$t_{вверх} = \frac{20}{25 - x}$ ч.

Время, которое катер затратил на путь вниз по реке, где $S = 30$ км, а $v = (25 + x)$ км/ч:
$t_{вниз} = \frac{30}{25 + x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 2 часа. Составим уравнение, сложив время движения вверх и вниз по реке:
$\frac{20}{25 - x} + \frac{30}{25 + x} = 2$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(25 - x)(25 + x) = 625 - x^2$:
$\frac{20(25 + x) + 30(25 - x)}{(25 - x)(25 + x)} = 2$
$\frac{500 + 20x + 750 - 30x}{625 - x^2} = 2$
$\frac{1250 - 10x}{625 - x^2} = 2$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $(625 - x^2)$, при условии, что $x \neq \pm 25$:
$1250 - 10x = 2(625 - x^2)$
$1250 - 10x = 1250 - 2x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$2x^2 - 10x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x - 5) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = 5$

Корень $x = 0$ означает отсутствие течения, что возможно, но в контексте задачи о движении "вверх" и "вниз" по реке обычно подразумевается наличие течения.
Корень $x = 5$ удовлетворяет условию $x < 25$. Проверим его, подставив в исходные выражения для времени:
Время вверх по реке: $t_{вверх} = \frac{20}{25 - 5} = \frac{20}{20} = 1$ час.
Время вниз по реке: $t_{вниз} = \frac{30}{25 + 5} = \frac{30}{30} = 1$ час.
Общее время: $1 + 1 = 2$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость течения реки равна 5 км/ч.