Номер 1.54, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Из двух населенных пунктов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Они встретились через 3 ч. В час один из велосипедистов проходит на 2 км больше другого. Какова скорость каждого велосипедиста, если расстояние между населенными пунктами равно 66 км?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ – скорость первого велосипедиста в км/ч, а $v_2$ – скорость второго велосипедиста в км/ч. Общее расстояние между населенными пунктами составляет $S = 66 \text{ км}$. Время, через которое они встретились, равно $t = 3 \text{ ч}$.

Согласно условию, скорость одного велосипедиста на 2 км/ч больше скорости другого. Допустим, что скорость первого велосипедиста больше. Это можно записать в виде уравнения:
$v_1 = v_2 + 2$

Поскольку велосипедисты движутся навстречу друг другу, их скорость сближения, $v_{сбл}$, равна сумме их индивидуальных скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Общее расстояние, которое они проехали вместе до встречи, равно начальному расстоянию между пунктами. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, мы можем записать уравнение для их совместного движения:

$S = v_{сбл} \cdot t$

$66 = (v_1 + v_2) \cdot 3$

Из этого уравнения найдем скорость сближения (сумму скоростей велосипедистов):

$v_1 + v_2 = \frac{66}{3}$

$v_1 + v_2 = 22 \text{ км/ч}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
1) $v_1 = v_2 + 2$
2) $v_1 + v_2 = 22$

Для решения системы подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:

$(v_2 + 2) + v_2 = 22$

Решим полученное уравнение относительно $v_2$:

$2v_2 + 2 = 22$

$2v_2 = 22 - 2$

$2v_2 = 20$

$v_2 = \frac{20}{2}$

$v_2 = 10 \text{ км/ч}$

Мы нашли скорость второго (более медленного) велосипедиста. Теперь найдем скорость первого велосипедиста, подставив найденное значение $v_2$ в первое уравнение системы:

$v_1 = v_2 + 2 = 10 + 2 = 12 \text{ км/ч}$

Проведем проверку найденных значений. Разница скоростей составляет $12 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$, что соответствует условию. За 3 часа первый велосипедист проедет $12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$, а второй — $10 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 30 \text{ км}$. Суммарное расстояние составит $36 \text{ км} + 30 \text{ км} = 66 \text{ км}$, что равно исходному расстоянию между пунктами. Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость одного велосипедиста — 12 км/ч, скорость другого велосипедиста — 10 км/ч.