Номер 1.69, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.69. На координатной плоскости изобразите фигуры, заданные неравенствами:

1) $y>3x-4$;

2) $y \le 5-x$;

3) $x+y \ge 2$;

4) $0,5y-x<3$.

1) $y>3x-4$

Чтобы изобразить на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, сначала построим ее границу — прямую $y=3x-4$. Так как неравенство строгое (знак $>$), прямая будет изображена пунктирной линией.

Для построения прямой найдем координаты двух точек, принадлежащих ей:

- при $x=0$, $y=3(0)-4=-4$. Точка $(0, -4)$.

- при $x=2$, $y=3(2)-4=2$. Точка $(2, 2)$.

Проведем через эти точки пунктирную прямую. Эта прямая разделяет всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением неравенства, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего взять начало координат — точку $(0, 0)$.

Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 > 3(0) - 4$

$0 > -4$

Полученное неравенство верно. Это означает, что полуплоскость, в которой лежит точка $(0, 0)$, является решением. Заштрихуем область выше прямой $y=3x-4$.

Ответ: Искомая фигура — это открытая полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y=3x-4$.

2) $y\le5-x$

Граничной линией является прямая $y = 5-x$. Так как неравенство нестрогое (знак $\le$), линия будет сплошной.

Найдем две точки для построения прямой:

- при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.

- при $x=5$, $y=0$. Точка $(5, 0)$.

Проведем через эти точки сплошную прямую. Возьмем пробную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в неравенство:

$0 \le 5-0$

$0 \le 5$

Неравенство верное, значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область ниже прямой $y=5-x$, включая саму прямую.

Ответ: Искомая фигура — это замкнутая полуплоскость, расположенная ниже сплошной прямой $y=5-x$, включая саму прямую.

3) $x+y\ge2$

Сначала преобразуем неравенство, выразив $y$: $y \ge 2-x$.

Граничной линией является прямая $y = 2-x$. Неравенство нестрогое (знак $\ge$), поэтому линия будет сплошной.

Найдем две точки для построения прямой:

- при $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.

- при $x=2$, $y=0$. Точка $(2, 0)$.

Проведем сплошную прямую через эти точки. Для определения нужной полуплоскости используем пробную точку $(0, 0)$:

$0+0 \ge 2$

$0 \ge 2$

Это неравенство неверно. Следовательно, решением является полуплоскость, которая не содержит начало координат. Это область выше прямой $y=2-x$, включая саму прямую.

Ответ: Искомая фигура — это замкнутая полуплоскость, расположенная выше сплошной прямой $y=2-x$, включая саму прямую.

4) $0,5y-x<3$

Преобразуем неравенство: $0,5y < x+3$, что эквивалентно $y < 2x+6$.

Граничной линией является прямая $y = 2x+6$. Неравенство строгое (знак $<$), поэтому прямая будет пунктирной.

Найдем две точки для построения прямой:

- при $x=0$, $y=6$. Точка $(0, 6)$.

- при $x=-3$, $y=2(-3)+6=0$. Точка $(-3, 0)$.

Проведем пунктирную прямую через эти точки. Проверим, какая полуплоскость является решением, с помощью пробной точки $(0, 0)$:

$0,5(0) - 0 < 3$

$0 < 3$

Неравенство верное, значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область ниже прямой $y=2x+6$.

Ответ: Искомая фигура — это открытая полуплоскость, расположенная ниже пунктирной прямой $y=2x+6$.