Номер 1.71, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Постройте фигуры, заданные системой неравенств:

1) $\begin{cases} y \le x + 3, \\ y \ge 5 - 3x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2 \le x \le 5, \\ 1 \le y \le 4 \end{cases}$ (рис. 1.8);

3) $\begin{cases} -1 < x \le 2, \\ -5 \le y < -1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - 2x + 4 \ge 0, \\ 3y - 9x + 6 < 0. \end{cases}$

Рис. 1.8

1)

Для построения фигуры, заданной системой неравенств $ \begin{cases} y \le x + 3, \\ y \ge 5 - 3x; \end{cases} $, выполним следующие шаги:

1. Построим граничную прямую $y = x + 3$. Это прямая, проходящая, например, через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Неравенство $y \le x + 3$ задает полуплоскость, расположенную ниже этой прямой, включая саму прямую.

2. Построим вторую граничную прямую $y = 5 - 3x$. Она проходит, например, через точки $(0, 5)$ и $(1, 2)$. Неравенство $y \ge 5 - 3x$ задает полуплоскость выше этой прямой, включая саму прямую.

3. Найдем точку пересечения этих прямых, решив систему уравнений: $ \begin{cases} y = x + 3 \\ y = 5 - 3x \end{cases} $. Приравнивая правые части, получаем $x + 3 = 5 - 3x$, откуда $4x = 2$, то есть $x = 0.5$. Подставляя $x$ в любое из уравнений, находим $y = 0.5 + 3 = 3.5$. Таким образом, вершина искомой фигуры находится в точке $(0.5, 3.5)$.

4. Искомая фигура является пересечением двух полуплоскостей. Это бесконечная угловая область, ограниченная лучами, выходящими из точки $(0.5, 3.5)$.

Ответ: Искомая фигура — это бесконечная угловая область, ограниченная лучами $y = x+3$ и $y = 5-3x$ с вершиной в точке $(0.5, 3.5)$, как показано на графике.

2)

Фигура задана системой неравенств $ \begin{cases} 2 \le x \le 5, \\ 1 \le y \le 4. \end{cases} $. Эта система описывает прямоугольник.

1. Неравенство $2 \le x \le 5$ задает на плоскости вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x=2$ и $x=5$. Поскольку неравенства нестрогие, эти прямые являются границами фигуры.

2. Неравенство $1 \le y \le 4$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y=1$ и $y=4$, также включая эти прямые.

3. Пересечение этих двух полос образует замкнутый прямоугольник, вершины которого находятся в точках $(2, 1)$, $(5, 1)$, $(5, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Фигура является прямоугольником с вершинами в точках $(2, 1)$, $(5, 1)$, $(5, 4)$ и $(2, 4)$.

3)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} -1 < x \le 2, \\ -5 \le y < -1. \end{cases} $.

1. Двойное неравенство $-1 < x \le 2$ задает вертикальную полосу. Граница $x = -1$ не включается в фигуру (изображается пунктирной линией), а граница $x = 2$ включается (сплошная линия).

2. Двойное неравенство $-5 \le y < -1$ задает горизонтальную полосу. Граница $y = -5$ включается (сплошная линия), а граница $y = -1$ не включается (пунктирная линия).

3. Пересечением этих полос является прямоугольник с вершинами в точках $(-1, -5)$, $(2, -5)$, $(2, -1)$, $(-1, -1)$. Две его стороны ($x=2$ и $y=-5$) принадлежат фигуре, а две другие ($x=-1$ и $y=-1$) — нет.

Ответ: Фигура является прямоугольником, ограниченным прямыми $x=-1$, $x=2$, $y=-5$, $y=-1$. Границы $x=2$ и $y=-5$ включены в фигуру, а границы $x=-1$ и $y=-1$ — нет.

4)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} y - 2x + 4 \ge 0, \\ 3y - 9x + 6 < 0. \end{cases} $.

1. Преобразуем неравенства: Первое: $y - 2x + 4 \ge 0 \implies y \ge 2x - 4$. Второе: $3y - 9x + 6 < 0 \implies 3y < 9x - 6 \implies y < 3x - 2$.

2. Граница первой области — прямая $y = 2x - 4$. Неравенство нестрогое, поэтому прямая является частью фигуры (сплошная линия). Область решений — полуплоскость выше этой прямой.

3. Граница второй области — прямая $y = 3x - 2$. Неравенство строгое, поэтому прямая не входит в фигуру (пунктирная линия). Область решений — полуплоскость ниже этой прямой.

4. Найдем точку пересечения прямых: $2x - 4 = 3x - 2$, откуда $-x = 2$, то есть $x = -2$. Тогда $y = 2(-2) - 4 = -8$. Точка пересечения $(-2, -8)$.

5. Эта точка не удовлетворяет второму неравенству ($ -8 < 3(-2) - 2 \implies -8 < -8 $, что неверно), поэтому она не принадлежит фигуре (изображается "выколотой" точкой).

6. Искомая фигура — это область на плоскости, заключенная между прямыми $y = 2x-4$ и $y=3x-2$.

Ответ: Фигура является открытой угловой областью между прямыми $y=2x-4$ и $y=3x-2$. Граница $y=2x-4$ включена (кроме точки пересечения), а граница $y=3x-2$ не включена.