Номер 1.77, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. Изобразите фигуры, заданные неравенствами:

1) $x - 2y + 1 \geq 0;$

2) $2x + y \leq 4;$

3) $|x| - 2y + 1 < 0;$

4) $2|x| + y > 4;$

5) $y + x^2 \leq 2x;$

6) $y - x^2 + x > 1;$

7) $x^2 + y^2 - 2x + 4y \leq 4;$

8) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 > 4;$

9) $xy \leq 2;$

10) $(x - 2)y > 1.$

1) Исходное неравенство: $x - 2y + 1 \ge 0$.

Это линейное неравенство. Сначала построим граничную прямую, заменив знак неравенства на равенство: $x - 2y + 1 = 0$. Выразим $y$: $2y = x + 1$, или $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Это уравнение прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), прямая будет сплошной и является частью решения.

Для определения области решения выберем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее в исходное неравенство: $0 - 2(0) + 1 \ge 0$, что дает $1 \ge 0$. Это верное утверждение, следовательно, область решения включает в себя полуплоскость, содержащую точку $(0, 0)$.

Фигура представляет собой полуплоскость, расположенную ниже и правее прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, включая саму прямую.

Ответ: Полуплоскость, ограниченная прямой $x - 2y + 1 = 0$ и содержащая начало координат.

2) Исходное неравенство: $2x + y \le 4$.

Это линейное неравенство. Граничная прямая имеет уравнение $2x + y = 4$, или $y = -2x + 4$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому прямая сплошная.

Проверим контрольную точку $(0, 0)$: $2(0) + 0 \le 4$, что дает $0 \le 4$. Это верно, значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат.

Фигура представляет собой полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -2x + 4$, включая саму прямую.

Ответ: Полуплоскость, ограниченная прямой $2x + y = 4$ и содержащая начало координат.

3) Исходное неравенство: $|x| - 2y + 1 < 0$.

Преобразуем неравенство: $2y > |x| + 1$, или $y > \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$.

Границей является график функции $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$, который состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, \frac{1}{2})$: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ при $x \ge 0$ и $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ при $x < 0$. Неравенство строгое ($<$), поэтому граница изображается пунктирной линией.

Решением является область, лежащая выше "галочки" графика $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$.

Ответ: Область над графиком функции $y=\frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$.

4) Исходное неравенство: $2|x| + y > 4$.

Преобразуем неравенство: $y > 4 - 2|x|$.

Границей является график функции $y = 4 - 2|x|$, который представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $(0, 4)$. При $x \ge 0$ имеем $y = 4 - 2x$, при $x < 0$ имеем $y = 4 + 2x$. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница пунктирная.

Решением является область, лежащая выше графика $y = 4 - 2|x|$.

Ответ: Область, расположенная над графиком $y = 4 - 2|x|$.

5) Исходное неравенство: $y + x^2 \le 2x$.

Преобразуем: $y \le -x^2 + 2x$. Границей является парабола $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем вершину: $x_v = -b/(2a) = -2/(2(-1)) = 1$, $y_v = -(1)^2 + 2(1) = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граница сплошная.

Решением является область, расположенная под параболой, включая саму параболу.

Ответ: Область, ограниченная сверху параболой $y = -x^2 + 2x$, включая границу.

6) Исходное неравенство: $y - x^2 + x > 1$.

Преобразуем: $y > x^2 - x + 1$. Границей является парабола $y = x^2 - x + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина: $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$, $y_v = (0.5)^2 - 0.5 + 1 = 0.75$. Вершина в точке $(0.5, 0.75)$. Неравенство строгое ($>$), граница пунктирная.

Решением является область, расположенная "внутри" (над) параболой.

Ответ: Внутренняя область параболы $y = x^2 - x + 1$.

7) Исходное неравенство: $x^2 + y^2 - 2x + 4y \le 4$.

Выделим полные квадраты: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 \le 4$.

$(x-1)^2 + (y+2)^2 - 5 \le 4$, что дает $(x-1)^2 + (y+2)^2 \le 9$.

Это неравенство описывает круг с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граница (окружность) является частью решения.

Фигура представляет собой замкнутый круг.

Ответ: Круг с центром в $(1, -2)$ и радиусом 3, включая окружность.

8) Исходное неравенство: $(x+1)^2 + (y-1)^2 > 4$.

Неравенство можно записать как $(x-(-1))^2 + (y-1)^2 > 2^2$.

Это неравенство описывает все точки, находящиеся вне окружности с центром в точке $(-1, 1)$ и радиусом $r=2$. Неравенство строгое ($>$), поэтому сама окружность не входит в решение и изображается пунктирной линией.

Фигура представляет собой всю плоскость, за исключением открытого круга.

Ответ: Внешность круга с центром в $(-1, 1)$ и радиусом 2.

9) Исходное неравенство: $xy \le 2$.

Границей является гипербола $y = 2/x$. Асимптотами являются оси координат. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому гипербола сплошная.

Рассмотрим два случая:
1. Если $x > 0$, неравенство принимает вид $y \le 2/x$. Это область под ветвью гиперболы в первом квадранте.
2. Если $x < 0$, при делении на $x$ знак неравенства меняется: $y \ge 2/x$. Это область над ветвью гиперболы в третьем квадранте.
3. Если $x=0$, неравенство $0 \le 2$ верно, т.е. вся ось OY является решением.Решением является область "между" ветвями гиперболы, включая оси координат.

Ответ: Область, содержащая оси координат и ограниченная ветвями гиперболы $y=2/x$.

10) Исходное неравенство: $(x-2)y > 1$.

Границей является кривая $(x-2)y=1$, или $y = \frac{1}{x-2}$. Это гипербола, смещенная на 2 единицы вправо. Асимптоты: $x=2$ и $y=0$. Неравенство строгое ($>$), граница пунктирная.

Рассмотрим два случая:
1. Если $x-2 > 0$ (т.е. $x > 2$), неравенство принимает вид $y > \frac{1}{x-2}$. Это область над ветвью гиперболы справа от асимптоты $x=2$.
2. Если $x-2 < 0$ (т.е. $x < 2$), знак неравенства меняется: $y < \frac{1}{x-2}$. Это область под ветвью гиперболы слева от асимптоты $x=2$.

Ответ: Объединение двух областей: для $x > 2$ область над ветвью гиперболы $y = 1/(x-2)$, а для $x < 2$ область под другой ветвью той же гиперболы.