Номер 1.78, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.78*. Задайте системой неравенств многоугольник с вершинами в точках:

1) A($-3; 4$), B($2; 1$), C($4; -2$);

2) A($-4; 0$), B($0; 5$), C($4; 0$), D($0; -5$);

3) A($-4; -1$), B($-2; 2$), C($2; 3$), D($4; 0$), E($1; -4$).

В упражнениях 1.79–1.82* постройте фигуры, заданные неравенствами или системой неравенств:

1) Зададим многоугольник с вершинами в точках A(-3; 4), B(2; 1), C(4; -2) системой неравенств.Этот многоугольник является треугольником ABC. Его границы — это отрезки AB, BC и AC. Для каждой стороны найдем уравнение прямой, на которой она лежит, и преобразуем его в неравенство. Для определения знака неравенства будем использовать в качестве тестовой точки третью вершину треугольника, не лежащую на рассматриваемой прямой.

• Прямая AB, проходящая через точки A(-3; 4) и B(2; 1).
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 4}{1 - 4}$, что упрощается до $\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 4}{-3}$.
Отсюда, $-3(x + 3) = 5(y - 4) \Rightarrow -3x - 9 = 5y - 20 \Rightarrow 3x + 5y - 11 = 0$.
Подставим координаты точки C(4; -2) в левую часть: $3(4) + 5(-2) - 11 = 12 - 10 - 11 = -9$.
Так как $-9 < 0$, то искомое неравенство: $3x + 5y - 11 \le 0$.

• Прямая BC, проходящая через точки B(2; 1) и C(4; -2).
Уравнение прямой: $\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 1}{-2 - 1}$, что упрощается до $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{-3}$.
Отсюда, $-3(x - 2) = 2(y - 1) \Rightarrow -3x + 6 = 2y - 2 \Rightarrow 3x + 2y - 8 = 0$.
Подставим координаты точки A(-3; 4): $3(-3) + 2(4) - 8 = -9 + 8 - 8 = -9$.
Так как $-9 < 0$, то неравенство: $3x + 2y - 8 \le 0$.

• Прямая AC, проходящая через точки A(-3; 4) и C(4; -2).
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{4 - (-3)} = \frac{y - 4}{-2 - 4}$, что упрощается до $\frac{x + 3}{7} = \frac{y - 4}{-6}$.
Отсюда, $-6(x + 3) = 7(y - 4) \Rightarrow -6x - 18 = 7y - 28 \Rightarrow 6x + 7y - 10 = 0$.
Подставим координаты точки B(2; 1): $6(2) + 7(1) - 10 = 12 + 7 - 10 = 9$.
Так как $9 > 0$, то неравенство: $6x + 7y - 10 \ge 0$.

Ответ: Искомая система неравенств: $ \begin{cases} 3x + 5y - 11 \le 0 \\ 3x + 2y - 8 \le 0 \\ 6x + 7y - 10 \ge 0 \end{cases} $

2) Зададим многоугольник с вершинами в точках A(-4; 0), B(0; 5), C(4; 0), D(0; -5) системой неравенств.Этот многоугольник является ромбом. Для определения знаков неравенств удобно использовать в качестве тестовой точки начало координат (0; 0), так как оно очевидно лежит внутри фигуры.

• Прямая AB (A(-4; 0), B(0; 5)): $\frac{x+4}{4} = \frac{y}{5} \Rightarrow 5x - 4y + 20 = 0$. Тест (0; 0): $20 > 0 \Rightarrow 5x - 4y + 20 \ge 0$.

• Прямая BC (B(0; 5), C(4; 0)): $\frac{x}{4} = \frac{y-5}{-5} \Rightarrow 5x + 4y - 20 = 0$. Тест (0; 0): $-20 < 0 \Rightarrow 5x + 4y - 20 \le 0$.

• Прямая CD (C(4; 0), D(0; -5)): $\frac{x-4}{-4} = \frac{y}{-5} \Rightarrow 5x - 4y - 20 = 0$. Тест (0; 0): $-20 < 0 \Rightarrow 5x - 4y - 20 \le 0$.

• Прямая DA (D(0; -5), A(-4; 0)): $\frac{x}{-4} = \frac{y+5}{5} \Rightarrow 5x + 4y + 20 = 0$. Тест (0; 0): $20 > 0 \Rightarrow 5x + 4y + 20 \ge 0$.

Ответ: Искомая система неравенств: $ \begin{cases} 5x - 4y + 20 \ge 0 \\ 5x + 4y - 20 \le 0 \\ 5x - 4y - 20 \le 0 \\ 5x + 4y + 20 \ge 0 \end{cases} $

3) Зададим многоугольник с вершинами в точках A(-4; -1), B(-2; 2), C(2; 3), D(4; 0), E(1; -4) системой неравенств.Это пятиугольник. В качестве тестовой точки для определения знака неравенств можно использовать начало координат (0; 0), которое лежит внутри фигуры.

• Прямая AB (A(-4; -1), B(-2; 2)): $\frac{x+4}{2} = \frac{y+1}{3} \Rightarrow 3x - 2y + 10 = 0$. Тест (0; 0): $10 > 0 \Rightarrow 3x - 2y + 10 \ge 0$.

• Прямая BC (B(-2; 2), C(2; 3)): $\frac{x+2}{4} = \frac{y-2}{1} \Rightarrow x - 4y + 10 = 0$. Тест (0; 0): $10 > 0 \Rightarrow x - 4y + 10 \ge 0$.

• Прямая CD (C(2; 3), D(4; 0)): $\frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{-3} \Rightarrow 3x + 2y - 12 = 0$. Тест (0; 0): $-12 < 0 \Rightarrow 3x + 2y - 12 \le 0$.

• Прямая DE (D(4; 0), E(1; -4)): $\frac{x-4}{-3} = \frac{y}{-4} \Rightarrow 4x - 3y - 16 = 0$. Тест (0; 0): $-16 < 0 \Rightarrow 4x - 3y - 16 \le 0$.

• Прямая EA (E(1; -4), A(-4; -1)): $\frac{x-1}{-5} = \frac{y+4}{3} \Rightarrow 3x + 5y + 17 = 0$. Тест (0; 0): $17 > 0 \Rightarrow 3x + 5y + 17 \ge 0$.

Ответ: Искомая система неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2y + 10 \ge 0 \\ x - 4y + 10 \ge 0 \\ 3x + 2y - 12 \le 0 \\ 4x - 3y - 16 \le 0 \\ 3x + 5y + 17 \ge 0 \end{cases} $