Номер 1.81, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.81. 1) $y \geq x^2 - 5|x| + 6;$

2) $y < |x^2 - 5x + 6|.$

1) $y \ge x^2 - 5|x| + 6$

Для решения этого неравенства необходимо изобразить на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих данному условию.

Сначала построим график граничной функции $y = x^2 - 5|x| + 6$.Эта функция является четной, так как $x^2 = |x|^2$, и ее можно записать как $y = |x|^2 - 5|x| + 6$. Четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому мы можем сначала построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси OY.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и уравнение принимает вид:$y = x^2 - 5x + 6$Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх.Найдем ее ключевые точки:

• Вершина параболы:
  Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$.
  Ордината вершины: $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
  Координаты вершины: $(2.5, -0.25)$.
• Точки пересечения с осью OX (нули функции):
  $x^2 - 5x + 6 = 0$
  С помощью теоремы Виета или через дискриминант находим корни: $(x-2)(x-3) = 0$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью OY:
  При $x=0$, $y = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$. Точка пересечения: $(0, 6)$.

Случай 2: $x < 0$

График для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x > 0$ относительно оси OY. Таким образом, мы получаем симметричные ключевые точки:

• Вершина: $(-2.5, -0.25)$.
• Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.

Решение неравенства

Неравенство $y \ge x^2 - 5|x| + 6$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки на самой кривой $y = x^2 - 5|x| + 6$ (поскольку знак неравенства нестрогий, $\ge$) и все точки, расположенные выше этой кривой.

Таким образом, решением является область, заштрихованная на графике ниже, включая ее границу.

Ответ: Решением неравенства является область на координатной плоскости, расположенная выше графика функции $y = x^2 - 5|x| + 6$, включая саму границу. График представляет собой две параболические ветви, симметричные относительно оси OY, с вершинами в точках $(-2.5, -0.25)$ и $(2.5, -0.25)$.

2) $y < |x^2 - 5x + 6|$

Требуется найти и изобразить множество точек $(x, y)$, для которых выполняется данное строгое неравенство.

Построим график граничной функции $y = |x^2 - 5x + 6|$.Для этого сначала построим параболу $y = g(x) = x^2 - 5x + 6$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(2.5, -0.25)$ и пересечениями с осью OX в точках $x=2$ и $x=3$.

Операция взятия модуля $|g(x)|$ означает, что часть графика, которая находится ниже оси OX (где $g(x) < 0$), симметрично отражается вверх относительно этой оси.

• Для $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$, значение $x^2 - 5x + 6$ неотрицательно, поэтому график $y = |x^2 - 5x + 6|$ совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 5x + 6$.
• Для $x \in (2, 3)$, значение $x^2 - 5x + 6$ отрицательно. Поэтому на этом интервале график строится по уравнению $y = -(x^2 - 5x + 6) = -x^2 + 5x - 6$. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой (локальный максимум) находится в точке $(2.5, 0.25)$.

Решение неравенства

Неравенство $y < |x^2 - 5x + 6|$ является строгим, поэтому точки на самой границе не входят в решение. Граница изображается пунктирной линией.Решением является множество всех точек, расположенных ниже графика $y = |x^2 - 5x + 6|$.

Ответ: Решением неравенства является область на координатной плоскости, расположенная ниже графика функции $y = |x^2 - 5x + 6|$. Граница области, изображенная пунктирной линией, в решение не входит.