Номер 1.83, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x + y = 11, \\ xy = 24; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = \frac{4}{3}x; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 40; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 96, \\ x - y = 8. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 11, \\ xy = 24. \end{cases} $
Это система, которую удобно решать методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 11 - x$.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x(11 - x) = 24$.
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$11x - x^2 = 24$.
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 11x + 24 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 8.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 11 - 3 = 8$.
Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 11 - 8 = 3$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(3; 8)$, $(8; 3)$.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = \frac{4}{3}x. \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^2 = 25$.
Возведем в квадрат и упростим уравнение:
$x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 25$.
Сложим коэффициенты при $x^2$:
$\left(1 + \frac{16}{9}\right)x^2 = 25$
$\left(\frac{9}{9} + \frac{16}{9}\right)x^2 = 25$
$\frac{25}{9}x^2 = 25$.
Разделим обе части уравнения на 25:
$\frac{1}{9}x^2 = 1$.
Отсюда $x^2 = 9$, что дает два возможных значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(3; 4)$, $(-3; -4)$.

3) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 40. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 3 + y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(3 + y)y = 40$.
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$3y + y^2 = 40$
$y^2 + 3y - 40 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -40. Этим условиям удовлетворяют числа 5 и -8.
Таким образом, корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = -8$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:
Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 3 + 5 = 8$.
Если $y_2 = -8$, то $x_2 = 3 + (-8) = -5$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(8; 5)$, $(-5; -8)$.

4) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 96, \\ x - y = 8. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 8 + y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(8 + y)^2 + y^2 = 96$.
Используем формулу квадрата суммы для раскрытия скобок:
$(64 + 16y + y^2) + y^2 = 96$.
Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:
$2y^2 + 16y + 64 - 96 = 0$
$2y^2 + 16y - 32 = 0$.
Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:
$y^2 + 8y - 16 = 0$.
Так как корни не являются целыми числами, решим уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128$.
Найдем корни $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y = \frac{-8 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 \cdot 2}}{2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2}$.
Получаем два значения для $y$: $y_1 = -4 + 4\sqrt{2}$ и $y_2 = -4 - 4\sqrt{2}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x = 8 + y$:
Если $y_1 = -4 + 4\sqrt{2}$, то $x_1 = 8 + (-4 + 4\sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2}$.
Если $y_2 = -4 - 4\sqrt{2}$, то $x_2 = 8 + (-4 - 4\sqrt{2}) = 4 - 4\sqrt{2}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(4 + 4\sqrt{2}; -4 + 4\sqrt{2})$, $(4 - 4\sqrt{2}; -4 - 4\sqrt{2})$.