Страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.47. Три барана и корова за день съедают 11 кг комбикорма, а один баран и три коровы – 17 кг. Сколько килограммов комбикорма съедает один баран и одна корова за день по отдельности?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество килограммов комбикорма, которое съедает один баран за день, а $y$ — количество килограммов комбикорма, которое съедает одна корова за день.

Согласно условию, три барана и одна корова съедают 11 кг комбикорма. Это можно записать в виде уравнения:
$3x + y = 11$

Также по условию, один баран и три коровы съедают 17 кг комбикорма. Это дает нам второе уравнение:
$x + 3y = 17$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} 3x + y = 11 \\ x + 3y = 17 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 11 - 3x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x + 3(11 - 3x) = 17$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$x + 33 - 9x = 17$
$-8x = 17 - 33$
$-8x = -16$
$x = \frac{-16}{-8}$
$x = 2$

Таким образом, один баран съедает 2 кг комбикорма в день.

Теперь найдем, сколько комбикорма съедает одна корова. Для этого подставим найденное значение $x=2$ в выражение для $y$:
$y = 11 - 3x = 11 - 3 \cdot 2 = 11 - 6 = 5$

Следовательно, одна корова съедает 5 кг комбикорма в день.

Проверим найденные значения, подставив их в оба исходных уравнения:
1) $3(2) + 5 = 6 + 5 = 11$. Верно.
2) $2 + 3(5) = 2 + 15 = 17$. Верно.

Ответ: один баран съедает 2 кг комбикорма в день, а одна корова — 5 кг в день.

1.48. За 20 тетрадей и один дневник ученик заплатил 125 тг.

Каковы цена тетради и цена дневника по отдельности, если за одну тетрадь и один дневник ученик заплатил 30 тг?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть цена одной тетради будет $x$ тг, а цена одного дневника — $y$ тг.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. За 20 тетрадей и один дневник ученик заплатил 125 тг. Это можно выразить уравнением:
$20x + y = 125$

2. За одну тетрадь и один дневник ученик заплатил 30 тг. Это можно выразить вторым уравнением:
$x + y = 30$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} 20x + y = 125 \\ x + y = 30 \end{cases} $

Решить эту систему можно несколькими способами. Удобно использовать метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(20x + y) - (x + y) = 125 - 30$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$20x + y - x - y = 95$

$19x = 95$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 19:

$x = \frac{95}{19}$

$x = 5$

Таким образом, цена одной тетради составляет 5 тг.

Теперь найдем цену дневника, подставив найденное значение $x$ во второе уравнение ($x + y = 30$):

$5 + y = 30$

Чтобы найти $y$, вычтем 5 из обеих частей уравнения:

$y = 30 - 5$

$y = 25$

Следовательно, цена одного дневника составляет 25 тг.

Выполним проверку, подставив найденные значения в первое уравнение ($20x + y = 125$):

$20 \cdot 5 + 25 = 100 + 25 = 125$

125 = 125. Решение верное.

Ответ: цена тетради — 5 тг, цена дневника — 25 тг.

1.49. Бригада из 24 рабочих завершила данную работу за 6 дней. За сколько дней завершила бы эту работу бригада из 36 рабочих?

Это задача на обратную пропорциональность, так как при увеличении количества рабочих, время, необходимое для выполнения того же объема работы, уменьшается. Предполагается, что производительность всех рабочих одинакова.

Сначала вычислим общий объем работы в человеко-днях. Это произведение количества рабочих на количество дней, затраченных на работу.
Объем работы = $24 \text{ рабочих} \times 6 \text{ дней} = 144$ человеко-дня.

Теперь, зная общий объем работы, мы можем определить, сколько дней потребуется бригаде из 36 рабочих для его выполнения. Пусть $x$ — это искомое количество дней.
Объем работы для второй бригады также равен 144 человеко-дня.
$36 \text{ рабочих} \times x \text{ дней} = 144$ человеко-дня.

Чтобы найти $x$, нужно разделить общий объем работы на количество рабочих во второй бригаде:
$x = \frac{144}{36}$
$x = 4$ дня.

Таким образом, бригада из 36 рабочих завершит данную работу за 4 дня.

Ответ: 4 дня.

1.50. Катер за один час проплыл 15 км по течению реки и 4 км в стоячей воде. Скорость течения реки в 4 раза меньше скорости катера в стоячей воде. Какова скорость течения реки?

Решение:
Обозначим скорость течения реки как $v_p$ (в км/ч), а собственную скорость катера (в стоячей воде) как $v_c$ (в км/ч).

Согласно условию задачи, скорость течения реки в 4 раза меньше скорости катера в стоячей воде. Это можно записать в виде уравнения:
$v_c = 4 \cdot v_p$

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по\;течению} = v_c + v_p$

Общее время движения катера составляет 1 час. Это время складывается из времени, затраченного на путь по течению, и времени, затраченного на путь в стоячей воде.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ - расстояние, а $v$ - скорость.

Время, затраченное на путь 15 км по течению реки, равно:
$t_1 = \frac{15}{v_c + v_p}$

Время, затраченное на путь 4 км в стоячей воде, равно:
$t_2 = \frac{4}{v_c}$

Суммарное время равно 1 часу:
$t_1 + t_2 = 1$
$\frac{15}{v_c + v_p} + \frac{4}{v_c} = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $v_c = 4v_p$
2) $\frac{15}{v_c + v_p} + \frac{4}{v_c} = 1$

Подставим выражение для $v_c$ из первого уравнения во второе:
$\frac{15}{(4v_p) + v_p} + \frac{4}{4v_p} = 1$

Упростим полученное уравнение:
$\frac{15}{5v_p} + \frac{4}{4v_p} = 1$
$\frac{3}{v_p} + \frac{1}{v_p} = 1$

Сложим дроби в левой части:
$\frac{3+1}{v_p} = 1$
$\frac{4}{v_p} = 1$

Отсюда находим скорость течения реки:
$v_p = 4$ км/ч.

Ответ: Скорость течения реки равна 4 км/ч.

1.51. Крестьянское хозяйство вспахало участок земли под посев за три дня. В первый день было вспахано на 2310 га земли больше, чем во второй, а в третий день были вспаханы оставшиеся 330 га земли, что составляют $2\%$ всего участка земли. Сколько гектаров земли было вспахано за первый и второй дни работы по отдельности?

Сначала определим общую площадь участка земли. Из условия мы знаем, что в третий день вспахали 330 га, и это составляет 2% от всей площади. Обозначим общую площадь как $S_{общ}$. Тогда ее можно найти из пропорции:

$S_{общ} = \frac{330 \text{ га}}{0.02} = 16500 \text{ га}$.

Далее вычислим, какая площадь была вспахана за первые два дня вместе. Для этого из общей площади вычтем площадь, обработанную в третий день:

$S_{1+2} = S_{общ} - S_{3} = 16500 \text{ га} - 330 \text{ га} = 16170 \text{ га}$.

Теперь нам нужно найти, сколько гектаров вспахали в каждый из первых двух дней по отдельности. Пусть $x$ — это площадь, вспаханная во второй день. По условию, в первый день вспахали на 2310 га больше, то есть $(x + 2310)$ га. Сумма площадей за эти два дня нам известна, поэтому можем составить уравнение:

$x + (x + 2310) = 16170$

Решим это уравнение:

$2x + 2310 = 16170$

$2x = 16170 - 2310$

$2x = 13860$

$x = \frac{13860}{2} = 6930 \text{ га}$.

Итак, во второй день было вспахано 6930 га.

Теперь найдем площадь, вспаханную в первый день:

$x + 2310 = 6930 + 2310 = 9240 \text{ га}$.

Ответ: в первый день было вспахано 9240 га, а во второй день — 6930 га.

1.52. Количество ног кур и баранов равно 40, а количество их голов – 15. Сколько кур и баранов?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $к$ — это количество кур, а $б$ — количество баранов.

Каждое животное имеет одну голову. По условию, всего 15 голов. Следовательно, первое уравнение будет:

$к + б = 15$

У каждой курицы 2 ноги, а у каждого барана — 4 ноги. Всего ног 40. Второе уравнение будет:

$2к + 4б = 40$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} к + б = 15 \\ 2к + 4б = 40 \end{cases}$

Можно упростить второе уравнение, разделив все его члены на 2:

$к + 2б = 20$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} к + б = 15 \\ к + 2б = 20 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти количество баранов ($б$):

$(к + 2б) - (к + б) = 20 - 15$

$к + 2б - к - б = 5$

$б = 5$

Мы нашли, что баранов было 5. Теперь подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти количество кур ($к$):

$к + 5 = 15$

$к = 15 - 5$

$к = 10$

Таким образом, было 10 кур и 5 баранов.

Проверка:

Голов: $10 + 5 = 15$.

Ног: $10 \cdot 2 + 5 \cdot 4 = 20 + 20 = 40$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 10 кур и 5 баранов.