Страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. 1) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ xy - y^2 = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1. \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Применим ее к первому уравнению системы:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) = 1$.

Из второго уравнения системы известно, что $x+y=1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 \cdot (x^2-xy+y^2) = 1$,

$x^2-xy+y^2 = 1$.

Теперь выразим $y$ из второго уравнения: $y = 1-x$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$x^2 - x(1-x) + (1-x)^2 = 1$

$x^2 - x + x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 3x + 1 = 1$

$3x^2 - 3x = 0$

$3x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 1-x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 1 - 0 = 1$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(0; 1), (1; 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ xy - y^2 = 2. \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy) - (xy - y^2) = 12 - 2$

$x^2 + xy - xy + y^2 = 10$

$x^2 + y^2 = 10$

Сложим исходные уравнения:

$(x^2 + xy) + (xy - y^2) = 12 + 2$

$x^2 + 2xy - y^2 = 14$

Этот путь не выглядит проще. Попробуем другой метод. Заметим, что левые части уравнений являются однородными многочленами второй степени. Разделим первое уравнение на второе (предварительно убедившись, что $xy - y^2 \ne 0$. Если $xy - y^2 = 0$, то $y(x-y)=0$, откуда $y=0$ или $x=y$. Если $y=0$, второе уравнение дает $0=2$, что неверно. Если $x=y$, второе уравнение дает $x^2-x^2=2$, т.е. $0=2$, что также неверно. Значит, деление возможно).

$\frac{x^2+xy}{xy-y^2} = \frac{12}{2} = 6$

$x^2+xy = 6(xy-y^2)$

$x^2+xy = 6xy - 6y^2$

$x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (случай $y=0$ мы уже проверили, он невозможен):

$(\frac{x}{y})^2 - 5(\frac{x}{y}) + 6 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Возвращаемся к замене:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим это во второе уравнение исходной системы:

$(2y)y - y^2 = 2$

$2y^2 - y^2 = 2$

$y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y_1 = \sqrt{2}$, то $x_1 = 2\sqrt{2}$.

Если $y_2 = -\sqrt{2}$, то $x_2 = -2\sqrt{2}$.

Получаем два решения: $(2\sqrt{2}; \sqrt{2})$ и $(-2\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.

Подставим это во второе уравнение исходной системы:

$(3y)y - y^2 = 2$

$3y^2 - y^2 = 2$

$2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 3(1) = 3$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 3(-1) = -3$.

Получаем еще два решения: $(3; 1)$ и $(-3; -1)$.

Ответ: $(3; 1), (-3; -1), (2\sqrt{2}; \sqrt{2}), (-2\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Применим ее к первому уравнению системы:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = 8$.

Из второго уравнения системы известно, что $x-y=2$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$2 \cdot (x^2+xy+y^2) = 8$

$x^2+xy+y^2 = 4$.

Теперь выразим $x$ из второго уравнения: $x = y+2$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$(y+2)^2 + (y+2)y + y^2 = 4$

$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^2 + 6y + 4 = 4$

$3y^2 + 6y = 0$

$3y(y + 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = y+2$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 2 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 2 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 0), (0; -2)$.

1.36. 1) $\begin{cases} \frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{y^2 + xy} = \frac{13}{6}, \\ \frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{y^2 + xy} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14}, \\ \frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{y^2 + xy} = \frac{13}{6} \\\frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{y^2 + xy} = 1\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x(x+y) \ne 0$ и $y(y+x) \ne 0$.
Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x^2 + xy}$ и $v = \frac{1}{y^2 + xy}$.
Тогда система примет вид линейной системы относительно $u$ и $v$:
$\begin{cases}5u + 4v = \frac{13}{6} \\8u - v = 1\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $v$: $v = 8u - 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$5u + 4(8u - 1) = \frac{13}{6}$
$5u + 32u - 4 = \frac{13}{6}$
$37u = 4 + \frac{13}{6}$
$37u = \frac{24+13}{6} = \frac{37}{6}$
$u = \frac{1}{6}$
Теперь найдем $v$:
$v = 8u - 1 = 8 \cdot \frac{1}{6} - 1 = \frac{8}{6} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
Выполним обратную замену:
$u = \frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1}{6} \implies x^2 + xy = 6$
$v = \frac{1}{y^2 + xy} = \frac{1}{3} \implies y^2 + xy = 3$
Получили новую систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 + xy = 6 \\y^2 + xy = 3\end{cases}$
Вынесем общие множители за скобки:
$\begin{cases}x(x+y) = 6 \\y(x+y) = 3\end{cases}$
Поскольку $y(x+y) = 3 \ne 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:
$\frac{x(x+y)}{y(x+y)} = \frac{6}{3}$
$\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.
Подставим $x = 2y$ во второе уравнение $y(x+y) = 3$:
$y(2y+y) = 3$
$y(3y) = 3$
$3y^2 = 3$
$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y=1$, то $x = 2y = 2(1) = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x = 2y = 2(-1) = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

2)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14} \\\frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}\end{cases}$
ОДЗ: $x(x+3y) \ne 0$ и $y(y-x) \ne 0$.
Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x^2 + 3xy}$ и $b = \frac{1}{y^2 - xy}$.
Система примет вид:
$\begin{cases}2a + 3b = \frac{25}{14} \\3a - 2b = -\frac{4}{7}\end{cases}$
Решим эту систему линейных уравнений методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$\begin{cases}4a + 6b = 2 \cdot \frac{25}{14} = \frac{25}{7} \\9a - 6b = 3 \cdot (-\frac{4}{7}) = -\frac{12}{7}\end{cases}$
Сложим два уравнения:
$(4a + 6b) + (9a - 6b) = \frac{25}{7} - \frac{12}{7}$
$13a = \frac{13}{7}$
$a = \frac{1}{7}$
Подставим найденное значение $a$ в уравнение $2a + 3b = \frac{25}{14}$:
$2(\frac{1}{7}) + 3b = \frac{25}{14}$
$\frac{2}{7} + 3b = \frac{25}{14}$
$3b = \frac{25}{14} - \frac{2}{7} = \frac{25}{14} - \frac{4}{14} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
$b = \frac{1}{2}$
Вернемся к исходным переменным:
$a = \frac{1}{x^2 + 3xy} = \frac{1}{7} \implies x^2 + 3xy = 7$
$b = \frac{1}{y^2 - xy} = \frac{1}{2} \implies y^2 - xy = 2$
Получили систему:
$\begin{cases}x^2 + 3xy = 7 \\y^2 - xy = 2\end{cases}$
Это система однородных уравнений. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7, чтобы приравнять правые части:
$2(x^2 + 3xy) = 14$ и $7(y^2 - xy) = 14$.
$2(x^2 + 3xy) = 7(y^2 - xy)$
$2x^2 + 6xy = 7y^2 - 7xy$
$2x^2 + 13xy - 7y^2 = 0$
Заметим, что $y \ne 0$, иначе $2x^2 = 0 \implies x=0$, но пара $(0,0)$ не является решением системы. Разделим уравнение на $y^2$:
$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 13\left(\frac{x}{y}\right) - 7 = 0$
Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $2t^2 + 13t - 7 = 0$.
Решим квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = 13^2 - 4(2)(-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{-13 \pm 15}{4}$
$t_1 = \frac{-13+15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-13-15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$
Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$. Подставим в уравнение $y^2 - xy = 2$:
$(2x)^2 - x(2x) = 2 \implies 4x^2 - 2x^2 = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$.
Отсюда $x_1=1, y_1=2(1)=2$ и $x_2=-1, y_2=2(-1)=-2$.
Получаем решения: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.
2) $\frac{x}{y} = -7 \implies x = -7y$. Подставим в уравнение $y^2 - xy = 2$:
$y^2 - (-7y)y = 2 \implies y^2 + 7y^2 = 2 \implies 8y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{1}{4}$.
Отсюда $y_3 = \frac{1}{2}, x_3 = -7(\frac{1}{2}) = -\frac{7}{2}$ и $y_4 = -\frac{1}{2}, x_4 = -7(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$.
Получаем решения: $(-\frac{7}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.
Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(1, 2), (-1, -2), (-\frac{7}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.

1.37. 1) $ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x + 2y}{x - y} + \frac{x - 2y}{x + y} = 4, \\ x^2 + xy + y^2 = 21; \end{array} \right. $

2) $ \left\{ \begin{array}{l} \frac{3x - 9y}{x + y} + \frac{2x + y}{x - y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48. \end{array} \right. $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+2y}{x-y} + \frac{x-2y}{x+y} = 4, \\ x^2 + xy + y^2 = 21; \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Преобразуем первое уравнение системы. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$$ \frac{(x+2y)(x+y) + (x-2y)(x-y)}{(x-y)(x+y)} = 4 $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{(x^2 + xy + 2xy + 2y^2) + (x^2 - xy - 2xy + 2y^2)}{x^2 - y^2} = 4 $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{2x^2 + 4y^2}{x^2 - y^2} = 4 $$

С учетом ОДЗ, умножим обе части уравнения на $x^2 - y^2$:

$$ 2x^2 + 4y^2 = 4(x^2 - y^2) $$

$$ 2x^2 + 4y^2 = 4x^2 - 4y^2 $$

$$ 8y^2 = 2x^2 $$

$$ x^2 = 4y^2 $$

Из этого уравнения следует, что $x = 2y$ или $x = -2y$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x = 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $x^2 + xy + y^2 = 21$:

$$ (2y)^2 + (2y)y + y^2 = 21 $$

$$ 4y^2 + 2y^2 + y^2 = 21 $$

$$ 7y^2 = 21 $$

$$ y^2 = 3 \implies y_1 = \sqrt{3}, \quad y_2 = -\sqrt{3} $$

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = \sqrt{3}$, то $x_1 = 2\sqrt{3}$. Получаем решение $(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Если $y_2 = -\sqrt{3}$, то $x_2 = -2\sqrt{3}$. Получаем решение $(-2\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Случай 2: $x = -2y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ (-2y)^2 + (-2y)y + y^2 = 21 $$

$$ 4y^2 - 2y^2 + y^2 = 21 $$

$$ 3y^2 = 21 $$

$$ y^2 = 7 \implies y_3 = \sqrt{7}, \quad y_4 = -\sqrt{7} $$

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \sqrt{7}$, то $x_3 = -2\sqrt{7}$. Получаем решение $(-2\sqrt{7}, \sqrt{7})$.

Если $y_4 = -\sqrt{7}$, то $x_4 = 2\sqrt{7}$. Получаем решение $(2\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

Все четыре найденные пары чисел удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$; $(-2\sqrt{3}, -\sqrt{3})$; $(-2\sqrt{7}, \sqrt{7})$; $(2\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x-9y}{x+y} + \frac{2x+y}{x-y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48. \end{cases} $$

ОДЗ: $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$, то есть $x \neq -y$ и $x \neq y$.

Приведем дроби в первом уравнении к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$$ \frac{(3x-9y)(x-y) + (2x+y)(x+y)}{x^2 - y^2} = 4 $$

Из второго уравнения системы известно, что $x^2 - y^2 = 48$. Подставим это в первое уравнение:

$$ \frac{(3x-9y)(x-y) + (2x+y)(x+y)}{48} = 4 $$

Умножим обе части на 48 и раскроем скобки:

$$ (3x^2 - 3xy - 9xy + 9y^2) + (2x^2 + 2xy + xy + y^2) = 192 $$

$$ 3x^2 - 12xy + 9y^2 + 2x^2 + 3xy + y^2 = 192 $$

Приведем подобные члены:

$$ 5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192 $$

Получили новую систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192, \\ x^2 - y^2 = 48. \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, мы можем разделить одно уравнение на другое:

$$ \frac{5x^2 - 9xy + 10y^2}{x^2 - y^2} = \frac{192}{48} = 4 $$

Разделим числитель и знаменатель левой части на $y^2$ (можно показать, что $y \neq 0$):

$$ \frac{5(\frac{x}{y})^2 - 9(\frac{x}{y}) + 10}{(\frac{x}{y})^2 - 1} = 4 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$$ \frac{5t^2 - 9t + 10}{t^2 - 1} = 4 $$

$$ 5t^2 - 9t + 10 = 4(t^2 - 1) $$

$$ 5t^2 - 9t + 10 = 4t^2 - 4 $$

$$ t^2 - 9t + 14 = 0 $$

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Случай 1: $t = \frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$

Подставим $x = 2y$ в уравнение $x^2 - y^2 = 48$:

$$ (2y)^2 - y^2 = 48 $$

$$ 3y^2 = 48 \implies y^2 = 16 \implies y_1 = 4, \quad y_2 = -4 $$

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 2 \cdot 4 = 8$. Решение: $(8, 4)$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 2 \cdot (-4) = -8$. Решение: $(-8, -4)$.

Случай 2: $t = \frac{x}{y} = 7 \implies x = 7y$

Подставим $x = 7y$ в уравнение $x^2 - y^2 = 48$:

$$ (7y)^2 - y^2 = 48 $$

$$ 48y^2 = 48 \implies y^2 = 1 \implies y_3 = 1, \quad y_4 = -1 $$

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 7 \cdot 1 = 7$. Решение: $(7, 1)$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 7 \cdot (-1) = -7$. Решение: $(-7, -1)$.

Все найденные пары чисел удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(8, 4)$; $(-8, -4)$; $(7, 1)$; $(-7, -1)$.

1.38.

1)

$\begin{cases} x + y + xy = -1, \\ x^2 + xy + y^2 = 3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^3 y^2 - x^2 y^3 = 36, \\ 2x^2 y - xy^2 = 6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + xy = -1 \\ x^2 + xy + y^2 = 3 \end{cases} $

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для ее решения введем новые переменные, представляющие собой элементарные симметрические многочлены: $u = x + y$ и $v = xy$.

Перепишем исходную систему через $u$ и $v$.Первое уравнение принимает вид:$u + v = -1$.

Для преобразования второго уравнения воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.Тогда второе уравнение $x^2 + y^2 + xy = 3$ преобразуется в:$(u^2 - 2v) + v = 3$,что упрощается до $u^2 - v = 3$.

Получаем новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u + v = -1 \\ u^2 - v = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $v$:$(u + v) + (u^2 - v) = -1 + 3$$u^2 + u = 2$$u^2 + u - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. Корни можно найти, разложив на множители: $(u+2)(u-1) = 0$. Корнями являются $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого $u$ из уравнения $v = -1 - u$.

Случай 1:$u = 1$.$v = -1 - 1 = -2$.Возвращаемся к исходным переменным:$x + y = 1$ и $xy = -2$.Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$:$t^2 - t - 2 = 0$.Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.Следовательно, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2:$u = -2$.$v = -1 - (-2) = 1$.Возвращаемся к исходным переменным:$x + y = -2$ и $xy = 1$.Составляем квадратное уравнение:$t^2 - (-2)t + 1 = 0$$t^2 + 2t + 1 = 0$$(t + 1)^2 = 0$.Это уравнение имеет один корень $t = -1$ кратности 2.Следовательно, $x = y = -1$. Это дает нам еще одно решение: $(-1, -1)$.

Таким образом, система имеет три решения.
Ответ: $(-1, 2), (2, -1), (-1, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^3y^2 - x^2y^3 = 36 \\ 2x^2y - xy^2 = 6 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} x^2y^2(2x - y) = 36 \\ xy(2x - y) = 6 \end{cases} $

Заметим, что если $x=0$, $y=0$ или $2x-y=0$, то левые части обоих уравнений обращаются в ноль, что не соответствует правым частям (36 и 6). Следовательно, $x \ne 0$, $y \ne 0$ и $2x-y \ne 0$.

Поскольку левая часть второго уравнения не равна нулю, мы можем разделить первое уравнение на второе:$\frac{x^2y^2(2x - y)}{xy(2x - y)} = \frac{36}{6}$

После сокращения дроби получаем:$xy = 6$.

Теперь подставим полученное выражение $xy=6$ во второе уравнение исходной системы $xy(2x - y) = 6$:$6(2x - y) = 6$$2x - y = 1$.

Таким образом, исходная система свелась к более простой системе:

$ \begin{cases} xy = 6 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2x - 1$.Подставим это выражение в первое уравнение:$x(2x - 1) = 6$$2x^2 - x = 6$$2x^2 - x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение для $x$, используя формулу для корней:$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+48}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

Находим два значения для $x$:$x_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$$x_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 2x - 1$.

Случай 1:$x_1 = 2$.$y_1 = 2(2) - 1 = 3$.Первое решение: $(2, 3)$.

Случай 2:$x_2 = -\frac{3}{2}$.$y_2 = 2(-\frac{3}{2}) - 1 = -3 - 1 = -4$.Второе решение: $(-\frac{3}{2}, -4)$.

Система имеет два решения.
Ответ: $(2, 3), (-\frac{3}{2}, -4)$.

1.39*. При каких значениях a система уравнений

1) $ \begin{cases} x + y = a, \\ xy = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = a, \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} $

имеет только одно решение?

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a, \\ xy = 9 \end{cases} $

Данная система является симметричной относительно переменных $x$ и $y$. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями некоторого квадратного уравнения $t^2 + pt + q = 0$, где $t_1+t_2 = -p$ и $t_1t_2 = q$.

В нашем случае $x+y=a$ и $xy=9$. Следовательно, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения:

$t^2 - at + 9 = 0$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(x, y)$. Если данное квадратное уравнение имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$, то исходная система будет иметь два различных решения: $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.

Система будет иметь только одно решение в том случае, когда $x=y$. Это соответствует ситуации, когда квадратное уравнение для $t$ имеет единственный корень (или два совпадающих корня). Такое возможно, только если дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант уравнения $t^2 - at + 9 = 0$:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти условие единственного решения:

$a^2 - 36 = 0$

$a^2 = 36$

$a = \pm\sqrt{36}$

$a = 6$ или $a = -6$.

При этих значениях $a$ система будет иметь единственное решение.

Ответ: $a=6, a=-6$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a, \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} $

Эта система также является симметричной. Используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, из которого следует, что $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$.

Подставим в это тождество выражения из данной системы:

$2 = a^2 - 2xy$

Из этого уравнения выразим произведение $xy$:

$2xy = a^2 - 2$

$xy = \frac{a^2 - 2}{2}$

Теперь исходную систему можно представить в эквивалентном виде:

$ \begin{cases} x + y = a, \\ xy = \frac{a^2 - 2}{2} \end{cases} $

Аналогично первому пункту, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив выражения для суммы и произведения, получим:

$t^2 - at + \frac{a^2 - 2}{2} = 0$

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\frac{a^2 - 2}{2}\right) = a^2 - 2(a^2 - 2) = a^2 - 2a^2 + 4 = 4 - a^2$

Приравняем дискриминант к нулю:

$4 - a^2 = 0$

$a^2 = 4$

$a = \pm\sqrt{4}$

$a = 2$ или $a = -2$.

При этих значениях $a$ система имеет единственное решение.

Ответ: $a=2, a=-2$.