Номер 1.35, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. 1) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ xy - y^2 = 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1. \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Применим ее к первому уравнению системы:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) = 1$.

Из второго уравнения системы известно, что $x+y=1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 \cdot (x^2-xy+y^2) = 1$,

$x^2-xy+y^2 = 1$.

Теперь выразим $y$ из второго уравнения: $y = 1-x$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$x^2 - x(1-x) + (1-x)^2 = 1$

$x^2 - x + x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 3x + 1 = 1$

$3x^2 - 3x = 0$

$3x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 1-x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 1 - 0 = 1$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(0; 1), (1; 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ xy - y^2 = 2. \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy) - (xy - y^2) = 12 - 2$

$x^2 + xy - xy + y^2 = 10$

$x^2 + y^2 = 10$

Сложим исходные уравнения:

$(x^2 + xy) + (xy - y^2) = 12 + 2$

$x^2 + 2xy - y^2 = 14$

Этот путь не выглядит проще. Попробуем другой метод. Заметим, что левые части уравнений являются однородными многочленами второй степени. Разделим первое уравнение на второе (предварительно убедившись, что $xy - y^2 \ne 0$. Если $xy - y^2 = 0$, то $y(x-y)=0$, откуда $y=0$ или $x=y$. Если $y=0$, второе уравнение дает $0=2$, что неверно. Если $x=y$, второе уравнение дает $x^2-x^2=2$, т.е. $0=2$, что также неверно. Значит, деление возможно).

$\frac{x^2+xy}{xy-y^2} = \frac{12}{2} = 6$

$x^2+xy = 6(xy-y^2)$

$x^2+xy = 6xy - 6y^2$

$x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (случай $y=0$ мы уже проверили, он невозможен):

$(\frac{x}{y})^2 - 5(\frac{x}{y}) + 6 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Возвращаемся к замене:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим это во второе уравнение исходной системы:

$(2y)y - y^2 = 2$

$2y^2 - y^2 = 2$

$y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y_1 = \sqrt{2}$, то $x_1 = 2\sqrt{2}$.

Если $y_2 = -\sqrt{2}$, то $x_2 = -2\sqrt{2}$.

Получаем два решения: $(2\sqrt{2}; \sqrt{2})$ и $(-2\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.

Подставим это во второе уравнение исходной системы:

$(3y)y - y^2 = 2$

$3y^2 - y^2 = 2$

$2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 3(1) = 3$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 3(-1) = -3$.

Получаем еще два решения: $(3; 1)$ и $(-3; -1)$.

Ответ: $(3; 1), (-3; -1), (2\sqrt{2}; \sqrt{2}), (-2\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Применим ее к первому уравнению системы:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = 8$.

Из второго уравнения системы известно, что $x-y=2$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$2 \cdot (x^2+xy+y^2) = 8$

$x^2+xy+y^2 = 4$.

Теперь выразим $x$ из второго уравнения: $x = y+2$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$(y+2)^2 + (y+2)y + y^2 = 4$

$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^2 + 6y + 4 = 4$

$3y^2 + 6y = 0$

$3y(y + 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = y+2$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 2 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 2 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 0), (0; -2)$.