Номер 1.31, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. 1)

$\begin{cases}2x^2 - 3xy - 19y^2 = 25, \\x^2 - 6y^2 = 250;\end{cases}$

2)

$\begin{cases}7x^2 - 6xy + 12y^2 = 108, \\x^2 - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^2 = 18.\end{cases}$

1) Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy - 19y^2 = 25, \\ x^2 - 6y^2 = 250. \end{cases} $
Данная система является системой однородных уравнений. Чтобы ее решить, приведем правые части уравнений к одному значению. Умножим первое уравнение на 10:
$ 10 \cdot (2x^2 - 3xy - 19y^2) = 10 \cdot 25 $, что дает $ 20x^2 - 30xy - 190y^2 = 250 $.
Теперь приравняем левые части полученного уравнения и второго уравнения исходной системы:
$ 20x^2 - 30xy - 190y^2 = x^2 - 6y^2 $
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$ 19x^2 - 30xy - 184y^2 = 0 $
Это однородное уравнение. Заметим, что $y \neq 0$, так как если $y=0$, то из уравнения следует $19x^2 = 0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $y^2$:
$ 19\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 30\left(\frac{x}{y}\right) - 184 = 0 $
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:
$ 19t^2 - 30t - 184 = 0 $
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$ D = (-30)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-184) = 900 + 13984 = 14884 = 122^2 $
Найдем корни уравнения:
$ t_1 = \frac{30 + 122}{2 \cdot 19} = \frac{152}{38} = 4 $
$ t_2 = \frac{30 - 122}{2 \cdot 19} = \frac{-92}{38} = -\frac{46}{19} $
Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $x^2 - 6y^2 = 250$:
$ (4y)^2 - 6y^2 = 250 $
$ 16y^2 - 6y^2 = 250 $
$ 10y^2 = 250 $
$ y^2 = 25 $, откуда $ y_1 = 5, y_2 = -5 $.
Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 4 \cdot 5 = 20$. Получаем решение $(20, 5)$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 4 \cdot (-5) = -20$. Получаем решение $(-20, -5)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{46}{19}$, откуда $x = -\frac{46}{19}y$. Подставим во второе уравнение системы:
$ \left(-\frac{46}{19}y\right)^2 - 6y^2 = 250 $
$ \frac{2116}{361}y^2 - 6y^2 = 250 $
$ \left(\frac{2116 - 2166}{361}\right)y^2 = 250 $
$ -\frac{50}{361}y^2 = 250 $
$ y^2 = -250 \cdot \frac{361}{50} = -5 \cdot 361 $
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, в этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(20, 5), (-20, -5)$.

2) Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 7x^2 - 6xy + 12y^2 = 108, \\ x^2 - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^2 = 18. \end{cases} $
Это система однородных уравнений. Умножим второе уравнение на 6, чтобы правые части уравнений стали равны ($108 = 18 \cdot 6$):
$ 6 \cdot \left(x^2 - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^2\right) = 6 \cdot 18 $
$ 6x^2 - 5xy + \frac{42}{8}y^2 = 108 $, или $ 6x^2 - 5xy + \frac{21}{4}y^2 = 108 $.
Приравняем левые части первого уравнения исходной системы и полученного уравнения:
$ 7x^2 - 6xy + 12y^2 = 6x^2 - 5xy + \frac{21}{4}y^2 $
Перенесем все члены в левую часть:
$ (7x^2 - 6x^2) + (-6xy + 5xy) + \left(12y^2 - \frac{21}{4}y^2\right) = 0 $
$ x^2 - xy + \left(\frac{48 - 21}{4}\right)y^2 = 0 $
$ x^2 - xy + \frac{27}{4}y^2 = 0 $
Заметим, что $y \neq 0$, так как в противном случае $x=0$, а пара $(0,0)$ не является решением исходной системы. Разделим уравнение на $y^2$:
$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} + \frac{27}{4} = 0 $
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:
$ t^2 - t + \frac{27}{4} = 0 $
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{27}{4} = 1 - 27 = -26 $
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходная система уравнений не имеет действительных решений.
Ответ: действительных решений нет.