Номер 1.33, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.33.

1)

$\begin{cases} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 1, \\ x + y = 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - x = 2, \\ \frac{10x + y}{xy} = 3. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 1 \\x + y = 4\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x + y}{xy} = 1$

Теперь мы можем подставить второе уравнение системы, $x + y = 4$, в преобразованное первое уравнение:

$\frac{4}{xy} = 1$

Из этого уравнения следует, что $xy = 4$.

Таким образом, исходная система сводится к следующей системе уравнений:

$\begin{cases}x + y = 4 \\xy = 4\end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t-2)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $t = 2$ кратности 2.

Это означает, что $x = 2$ и $y = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(2, 2)$ исходной системе:

Первое уравнение: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (верно).

Второе уравнение: $2 + 2 = 4$ (верно).

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2, 2)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}y - x = 2 \\\frac{10x + y}{xy} = 3\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$\frac{10x + (x+2)}{x(x+2)} = 3$

Упростим числитель дроби:

$\frac{11x + 2}{x^2 + 2x} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 2x$ (при условии $x^2 + 2x \neq 0$, что следует из ОДЗ):

$11x + 2 = 3(x^2 + 2x)$

$11x + 2 = 3x^2 + 6x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 6x - 11x - 2 = 0$

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения $y = x + 2$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 2 = 4$. Первое решение: $(2, 4)$.

Если $x_2 = -\frac{1}{3}$, то $y_2 = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3}$. Второе решение: $(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Выполним проверку для обоих решений.

Для пары $(2, 4)$:

$y - x = 4 - 2 = 2$ (верно).

$\frac{10x + y}{xy} = \frac{10(2) + 4}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$ (верно).

Для пары $(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$:

$y - x = \frac{5}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{5+1}{3} = \frac{6}{3} = 2$ (верно).

$\frac{10x + y}{xy} = \frac{10(-\frac{1}{3}) + \frac{5}{3}}{(-\frac{1}{3}) \cdot \frac{5}{3}} = \frac{-\frac{10}{3} + \frac{5}{3}}{-\frac{5}{9}} = \frac{-\frac{5}{3}}{-\frac{5}{9}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = 3$ (верно).

Ответ: $(2, 4)$, $(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$.