Номер 1.28, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28.

1) $\begin{cases} 2x - 3y = -18, \\ xy = -12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = -19, \\ xy = -6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ xy = 28. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = -18, \\ xy = -12. \end{cases} $ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$ (поскольку $x=0$ не является решением, деление на $x$ возможно): $y = -\frac{12}{x}$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $2x - 3(-\frac{12}{x}) = -18$
$2x + \frac{36}{x} = -18$.
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби: $2x^2 + 36 = -18x$
$2x^2 + 18x + 36 = 0$.
Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 + 9x + 18 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $18$. Легко подобрать корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$.
Если $x_1 = -3$, то $y_1 = -\frac{12}{-3} = 4$.
Если $x_2 = -6$, то $y_2 = -\frac{12}{-6} = 2$.
Таким образом, мы получили две пары решений.
Ответ: $(-3, 4), (-6, 2)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = -19, \\ xy = -6. \end{cases} $ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{6}{x}$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $2x^2 - 3(-\frac{6}{x})^2 = -19$
$2x^2 - 3(\frac{36}{x^2}) = -19$
$2x^2 - \frac{108}{x^2} = -19$.
Умножим обе части на $x^2$: $2(x^2)^2 - 108 = -19x^2$
$2(x^2)^2 + 19x^2 - 108 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $t \ge 0$. $2t^2 + 19t - 108 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4(2)(-108) = 361 + 864 = 1225 = 35^2$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm 35}{4}$.
$t_1 = \frac{-19 - 35}{4} = \frac{-54}{4} = -13.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
$t_2 = \frac{-19 + 35}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Вернемся к замене: $x^2 = 4$.
Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -\frac{6}{2} = -3$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -\frac{6}{-2} = 3$.
Получили две пары решений.
Ответ: $(2, -3), (-2, 3)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ xy = 28. \end{cases} $ Это симметрическая система. Для её решения удобно использовать формулы сокращенного умножения. Сложим первое уравнение с удвоенным вторым: $(x^2 + y^2) + 2(xy) = 65 + 2(28)$
$x^2 + 2xy + y^2 = 65 + 56$
$(x+y)^2 = 121$.
Отсюда следует, что $x+y = 11$ или $x+y = -11$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x+y = 11$. Вместе со вторым уравнением исходной системы $xy = 28$ получаем новую систему: $ \begin{cases} x+y = 11, \\ xy = 28. \end{cases} $ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 28 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 4, t_2 = 7$. Следовательно, решениями являются пары $(4, 7)$ и $(7, 4)$.
Случай 2: $x+y = -11$. Аналогично получаем систему: $ \begin{cases} x+y = -11, \\ xy = 28. \end{cases} $ $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-11)t + 28 = 0$, то есть $t^2 + 11t + 28 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = -4, t_2 = -7$. Следовательно, решениями являются пары $(-4, -7)$ и $(-7, -4)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары.
Ответ: $(4, 7), (7, 4), (-4, -7), (-7, -4)$.