Номер 1.25, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.25.

1)

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -21, \\ x + y = -3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 74, \\ x - y = 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 34, \\ x + y = 7; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 - 2xy - y^2 = 1, \\ x + y = 2. \end{cases}$

1)

В первом уравнении $x^2 - y^2 = -21$ применим формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = -21$.

Из второго уравнения системы $x+y=-3$ нам известно значение суммы $x$ и $y$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x-y) \cdot (-3) = -21$.

Разделим обе части уравнения на -3, чтобы найти разность $x-y$:

$x-y = \frac{-21}{-3} = 7$.

Теперь мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = 7 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -3 + 7$, в результате получим $2x=4$, откуда $x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ в уравнение $x+y=-3$:

$2+y=-3$,

$y = -5$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2, -5)$.

Ответ: $(2, -5)$.

2)

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения $x - y = 2$:

$x = y + 2$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение $x^2 + y^2 = 74$:

$(y+2)^2 + y^2 = 74$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 4y + 4 + y^2 = 74$,

$2y^2 + 4y + 4 - 74 = 0$,

$2y^2 + 4y - 70 = 0$.

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$y^2 + 2y - 35 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $(y+7)(y-5)=0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = -7$ или $y_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя формулу $x = y + 2$.

Если $y_1 = -7$, то $x_1 = -7 + 2 = -5$.

Если $y_2 = 5$, то $x_2 = 5 + 2 = 7$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-5, -7)$, $(7, 5)$.

3)

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения $x+y=7$ выразим $x$:

$x = 7 - y$.

Подставим это выражение в первое уравнение $x^2 + 4y^2 = 34$:

$(7-y)^2 + 4y^2 = 34$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$49 - 14y + y^2 + 4y^2 = 34$,

$5y^2 - 14y + 49 - 34 = 0$,

$5y^2 - 14y + 15 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 15 = 196 - 300 = -104$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходная система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных решений.

4)

Применим метод подстановки. Из второго уравнения $x+y=2$ выразим $y$:

$y = 2 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение $x^2 - 2xy - y^2 = 1$:

$x^2 - 2x(2-x) - (2-x)^2 = 1$.

Раскроем скобки:

$x^2 - (4x - 2x^2) - (4 - 4x + x^2) = 1$,

$x^2 - 4x + 2x^2 - 4 + 4x - x^2 = 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2 - x^2) + (-4x + 4x) - 4 = 1$,

$2x^2 - 4 = 1$.

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x^2 = 5$,

$x^2 = \frac{5}{2}$,

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Мы получили два значения для $x$. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого из них, используя $y=2-x$.

1) При $x_1 = \frac{\sqrt{10}}{2}$:

$y_1 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{4 - \sqrt{10}}{2}$.

2) При $x_2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$:

$y_2 = 2 - (-\frac{\sqrt{10}}{2}) = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{4-\sqrt{10}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{4+\sqrt{10}}{2})$.