Номер 1.27, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.27.1) $ \begin{cases} x^2 + 3xy - y^2 + 2x - 5y = -64, \\ x - y = -7; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 3y^2 - 4x - 5y - 8 = 0, \\ x - y + 1 = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 4x^2 + 5y^2 = 16, \\ x^2 + 5y^2 = 25; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + xy = 15, \\ y^2 + xy = 10. \end{cases} $

1.27.1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 3xy - y^2 + 2x - 5y = -64 \\x - y = -7\end{cases}$

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y - 7$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y - 7)^2 + 3(y - 7)y - y^2 + 2(y - 7) - 5y = -64$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(y^2 - 14y + 49) + (3y^2 - 21y) - y^2 + (2y - 14) - 5y = -64$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 14y + 49 + 3y^2 - 21y - y^2 + 2y - 14 - 5y + 64 = 0$

$(1 + 3 - 1)y^2 + (-14 - 21 + 2 - 5)y + (49 - 14 + 64) = 0$

$3y^2 - 38y + 99 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-38)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 99 = 1444 - 1188 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$y_1 = \frac{-(-38) + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{38 + 16}{6} = \frac{54}{6} = 9$

$y_2 = \frac{-(-38) - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{38 - 16}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя соотношение $x = y - 7$.

При $y_1 = 9$, получаем $x_1 = 9 - 7 = 2$.

При $y_2 = \frac{11}{3}$, получаем $x_2 = \frac{11}{3} - 7 = \frac{11 - 21}{3} = -\frac{10}{3}$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(2, 9), (-\frac{10}{3}, \frac{11}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 3y^2 - 4x - 5y - 8 = 0 \\x - y + 1 = 0\end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = y - 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y - 1)^2 + 3y^2 - 4(y - 1) - 5y - 8 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 - 2y + 1) + 3y^2 - 4y + 4 - 5y - 8 = 0$

Приведем подобные члены:

$(1 + 3)y^2 + (-2 - 4 - 5)y + (1 + 4 - 8) = 0$

$4y^2 - 11y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y - 1$.

При $y_1 = 3$, получаем $x_1 = 3 - 1 = 2$.

При $y_2 = -\frac{1}{4}$, получаем $x_2 = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{5}{4}$.

Система имеет две пары решений.

Ответ: $(2, 3), (-\frac{5}{4}, -\frac{1}{4})$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}4x^2 + 5y^2 = 16 \\x^2 + 5y^2 = 25\end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения (в данном случае вычитания). Вычтем второе уравнение из первого:

$(4x^2 + 5y^2) - (x^2 + 5y^2) = 16 - 25$

$4x^2 - x^2 + 5y^2 - 5y^2 = -9$

$3x^2 = -9$

$x^2 = -3$

Полученное уравнение $x^2 = -3$ не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данная система уравнений не имеет действительных решений.

Ответ: нет действительных решений.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + xy = 15 \\y^2 + xy = 10\end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения и вычитания уравнений.

Сложим первое и второе уравнения:

$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 15 + 10$

$x^2 + 2xy + y^2 = 25$

$(x + y)^2 = 25$

Отсюда следует, что $x + y = 5$ или $x + y = -5$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy) - (y^2 + xy) = 15 - 10$

$x^2 - y^2 = 5$

$(x - y)(x + y) = 5$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x + y = 5$.

Подставим это значение в уравнение $(x - y)(x + y) = 5$:

$(x - y) \cdot 5 = 5$

$x - y = 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}x + y = 5 \\x - y = 1\end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставив $x=3$ в первое уравнение, найдем $y$: $3 + y = 5$, откуда $y = 2$. Первое решение: $(3, 2)$.

Случай 2: $x + y = -5$.

Подставим это значение в уравнение $(x - y)(x + y) = 5$:

$(x - y) \cdot (-5) = 5$

$x - y = -1$

Получаем новую систему линейных уравнений:

$\begin{cases}x + y = -5 \\x - y = -1\end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставив $x=-3$ в первое уравнение, найдем $y$: $-3 + y = -5$, откуда $y = -2$. Второе решение: $(-3, -2)$.

Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.