Номер 1.32, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.32.

1)

$\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18, \\ x + y = 12; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3, \\ x + y = 2. \end{cases}$

1)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18 \\ x + y = 12 \end{cases} $$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:$$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 18 $$$$ x^3 + y^3 = 18xy $$Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.$$ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 18xy $$Из второго уравнения системы известно, что $x+y=12$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:$$ 12(x^2 - xy + y^2) = 18xy $$Разделим обе части уравнения на 6:$$ 2(x^2 - xy + y^2) = 3xy $$$$ 2x^2 - 2xy + 2y^2 = 3xy $$$$ 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 $$Это однородное уравнение второй степени. Так как $y \neq 0$, разделим обе части на $y^2$:$$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0 $$Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:$$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения:$$ t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$$$ t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$Вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:
Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:$$ 2y + y = 12 $$$$ 3y = 12 $$$$ y = 4 $$Тогда $x = 2 \cdot 4 = 8$.
Получили пару чисел $(8, 4)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:$$ x + 2x = 12 $$$$ 3x = 12 $$$$ x = 4 $$Тогда $y = 2 \cdot 4 = 8$.
Получили пару чисел $(4, 8)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (8, 4), (4, 8).

2)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} $$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:$$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 3 $$$$ x^3 + y^3 = 3xy $$Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:$$ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 3xy $$Из второго уравнения системы известно, что $x+y=2$. Подставим это значение:$$ 2(x^2 - xy + y^2) = 3xy $$$$ 2x^2 - 2xy + 2y^2 = 3xy $$$$ 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 $$Это то же самое однородное уравнение, что и в задаче 1). Разделив на $y^2$ и сделав замену $t = \frac{x}{y}$, получим $2t^2 - 5t + 2 = 0$ с корнями $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 2$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x+y=2$:$$ 2y + y = 2 $$$$ 3y = 2 $$$$ y = \frac{2}{3} $$Тогда $x = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Получили пару чисел $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x+y=2$:$$ x + 2x = 2 $$$$ 3x = 2 $$$$ x = \frac{2}{3} $$Тогда $y = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Получили пару чисел $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.