Номер 1.38, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.38.

1)

$\begin{cases} x + y + xy = -1, \\ x^2 + xy + y^2 = 3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^3 y^2 - x^2 y^3 = 36, \\ 2x^2 y - xy^2 = 6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + xy = -1 \\ x^2 + xy + y^2 = 3 \end{cases} $

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для ее решения введем новые переменные, представляющие собой элементарные симметрические многочлены: $u = x + y$ и $v = xy$.

Перепишем исходную систему через $u$ и $v$.Первое уравнение принимает вид:$u + v = -1$.

Для преобразования второго уравнения воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.Тогда второе уравнение $x^2 + y^2 + xy = 3$ преобразуется в:$(u^2 - 2v) + v = 3$,что упрощается до $u^2 - v = 3$.

Получаем новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u + v = -1 \\ u^2 - v = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $v$:$(u + v) + (u^2 - v) = -1 + 3$$u^2 + u = 2$$u^2 + u - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. Корни можно найти, разложив на множители: $(u+2)(u-1) = 0$. Корнями являются $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого $u$ из уравнения $v = -1 - u$.

Случай 1:$u = 1$.$v = -1 - 1 = -2$.Возвращаемся к исходным переменным:$x + y = 1$ и $xy = -2$.Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$:$t^2 - t - 2 = 0$.Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.Следовательно, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2:$u = -2$.$v = -1 - (-2) = 1$.Возвращаемся к исходным переменным:$x + y = -2$ и $xy = 1$.Составляем квадратное уравнение:$t^2 - (-2)t + 1 = 0$$t^2 + 2t + 1 = 0$$(t + 1)^2 = 0$.Это уравнение имеет один корень $t = -1$ кратности 2.Следовательно, $x = y = -1$. Это дает нам еще одно решение: $(-1, -1)$.

Таким образом, система имеет три решения.
Ответ: $(-1, 2), (2, -1), (-1, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^3y^2 - x^2y^3 = 36 \\ 2x^2y - xy^2 = 6 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} x^2y^2(2x - y) = 36 \\ xy(2x - y) = 6 \end{cases} $

Заметим, что если $x=0$, $y=0$ или $2x-y=0$, то левые части обоих уравнений обращаются в ноль, что не соответствует правым частям (36 и 6). Следовательно, $x \ne 0$, $y \ne 0$ и $2x-y \ne 0$.

Поскольку левая часть второго уравнения не равна нулю, мы можем разделить первое уравнение на второе:$\frac{x^2y^2(2x - y)}{xy(2x - y)} = \frac{36}{6}$

После сокращения дроби получаем:$xy = 6$.

Теперь подставим полученное выражение $xy=6$ во второе уравнение исходной системы $xy(2x - y) = 6$:$6(2x - y) = 6$$2x - y = 1$.

Таким образом, исходная система свелась к более простой системе:

$ \begin{cases} xy = 6 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2x - 1$.Подставим это выражение в первое уравнение:$x(2x - 1) = 6$$2x^2 - x = 6$$2x^2 - x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение для $x$, используя формулу для корней:$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+48}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

Находим два значения для $x$:$x_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$$x_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 2x - 1$.

Случай 1:$x_1 = 2$.$y_1 = 2(2) - 1 = 3$.Первое решение: $(2, 3)$.

Случай 2:$x_2 = -\frac{3}{2}$.$y_2 = 2(-\frac{3}{2}) - 1 = -3 - 1 = -4$.Второе решение: $(-\frac{3}{2}, -4)$.

Система имеет два решения.
Ответ: $(2, 3), (-\frac{3}{2}, -4)$.