Номер 1.40, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40*. При каких значениях $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = a \end{cases}$ имеет только одно решение?

Для нахождения значений параметра $a$, при которых система имеет только одно решение, можно использовать алгебраический и графический методы.

Алгебраический способ

Рассмотрим данную систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = a \\x - y = a\end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$ и $a$:

$x = y + a$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y + a)^2 + y^2 = a$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 - a = 0$

$2y^2 + 2ay + (a^2 - a) = 0$

Исходная система будет иметь единственное решение в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение для $y$ будет иметь единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ квадратного уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $2y^2 + (2a)y + (a^2 - a) = 0$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - a) = 4a^2 - 8(a^2 - a) = 4a^2 - 8a^2 + 8a = -4a^2 + 8a$

Приравняем дискриминант к нулю:

$-4a^2 + 8a = 0$

Вынесем общий множитель $-4a$ за скобки:

$-4a(a - 2) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $a_1 = 0$ и $a_2 = 2$.

Необходимо также проверить, что при этих значениях $a$ система имеет смысл. Из первого уравнения $x^2 + y^2 = a$ следует, что $a \ge 0$, так как сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной. Оба найденных значения, $a=0$ и $a=2$, удовлетворяют этому условию. Таким образом, оба значения являются решениями.

Графический способ

Интерпретируем уравнения системы как графики функций на координатной плоскости $Oxy$.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = a$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$.

• Если $a > 0$, это окружность с радиусом $R = \sqrt{a}$.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 + y^2 = 0$, что соответствует единственной точке — началу координат $(0, 0)$.
• Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных решений.

Второе уравнение, $x - y = a$, можно переписать как $y = x - a$. Это уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $k=1$ и сдвигом по оси $y$ на $-a$.

Система имеет единственное решение, если графики этих двух уравнений имеют ровно одну общую точку. Это возможно в двух случаях:

1. Прямая касается окружности. Это возможно, когда $a > 0$. Условие касания заключается в том, что расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y - a = 0$ должно быть равно радиусу окружности $R = \sqrt{a}$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (так как мы рассматриваем случай $a>0$, то $|a|=a$).

Приравняем расстояние радиусу: $\frac{a}{\sqrt{2}} = \sqrt{a}$.

Возведем обе части в квадрат: $\frac{a^2}{2} = a \implies a^2 - 2a = 0 \implies a(a - 2) = 0$.

Поскольку мы рассматриваем случай $a > 0$, единственным решением здесь является $a = 2$.

2. Окружность вырождается в точку, и эта точка лежит на прямой. Это происходит при $a=0$. Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases}x^2+y^2=0 \\x-y=0\end{cases}$

Решением первого уравнения является только точка $(0,0)$. Подставив эти координаты во второе уравнение, получаем верное равенство $0-0=0$. Значит, точка $(0,0)$ лежит на прямой $y=x$. Следовательно, при $a=0$ система имеет единственное решение $(0,0)$.

Объединив результаты, полученные обоими способами, приходим к выводу, что система имеет единственное решение при $a=0$ и $a=2$.

Ответ: $a=0; 2$.