Номер 1.46, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.46. Значение первой цифры двузначного числа на 4 больше значения второй цифры, а произведение их значений равно 21. Найдите это двузначное число.

Пусть первая цифра искомого двузначного числа (цифра в разряде десятков) равна $a$, а вторая цифра (цифра в разряде единиц) равна $b$. Само число можно представить в виде $10a + b$.

Из условия задачи нам известно, что значение первой цифры на 4 больше значения второй. Это можно записать в виде математического уравнения:

$a = b + 4$

Также нам дано, что произведение значений этих цифр равно 21. Это дает нам второе уравнение:

$a \cdot b = 21$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a = b + 4 \\ a \cdot b = 21 \end{cases}$

Для решения этой системы подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(b + 4) \cdot b = 21$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$b^2 + 4b = 21$

$b^2 + 4b - 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Найдем дискриминант $D$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Теперь найдем возможные значения для $b$:

$b_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

$b_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

Поскольку $b$ — это цифра, она должна быть целым неотрицательным числом от 0 до 9. Корень $b_1 = -7$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Следовательно, единственно возможное значение для второй цифры — это $b = 3$.

Теперь, зная значение $b$, найдем первую цифру $a$ из первого уравнения системы:

$a = b + 4 = 3 + 4 = 7$

Первая цифра $a = 7$ также является допустимым значением (целое число от 1 до 9).

Итак, мы нашли цифры искомого числа: первая цифра равна 7, вторая — 3. Таким образом, искомое двузначное число — 73.

Выполним проверку:
1. Первая цифра 7 на 4 больше второй цифры 3: $7 - 3 = 4$. Условие выполняется.
2. Произведение цифр равно 21: $7 \cdot 3 = 21$. Условие выполняется.

Ответ: 73