Практическая работа, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Составьте текстовую задачу, которая решается с помощью системы уравнений и решите ее:

1)

$\begin{cases} m + n = 11, \\ mn = 28; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 3t_1 = 2t_2, \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3}. \end{cases}$

1)

Задача: Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 28 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение.

Обозначим длины сторон прямоугольника через $m$ и $n$.

Периметр прямоугольника равен $2(m+n)$. По условию, $2(m+n) = 22$, откуда получаем первое уравнение: $m+n=11$.

Площадь прямоугольника равна $mn$. По условию, $mn = 28$. Это второе уравнение.

Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений:

$$ \begin{cases} m + n = 11, \\ mn = 28 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $m$: $m = 11 - n$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $(11 - n)n = 28$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $11n - n^2 = 28$, или $n^2 - 11n + 28 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение — 28. Корнями являются числа 4 и 7.

Если $n=4$ см, то $m=11-4=7$ см.

Если $n=7$ см, то $m=11-7=4$ см.

В обоих случаях стороны прямоугольника равны 4 см и 7 см.

Ответ: 4 см и 7 см.

2)

Задача: Два насоса, работая совместно, наполняют бассейн за 3 часа. Производительность первого насоса в 1,5 раза выше, чем производительность второго. За сколько часов каждый насос наполнит бассейн, работая отдельно?

Решение.

Пусть $t_1$ — время, за которое первый насос наполняет бассейн, а $t_2$ — время, за которое его наполняет второй насос. Весь объем бассейна примем за 1.

Тогда производительность первого насоса (часть бассейна, наполняемая за час) равна $\frac{1}{t_1}$, а второго — $\frac{1}{t_2}$.

Когда насосы работают вместе, их производительности складываются. По условию, они наполняют бассейн за 3 часа, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{3}$. Получаем первое уравнение: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3}$.

По условию, производительность первого насоса в 1,5 раза выше, чем у второго: $\frac{1}{t_1} = 1,5 \cdot \frac{1}{t_2}$.

Запишем 1,5 в виде дроби $\frac{3}{2}$: $\frac{1}{t_1} = \frac{3}{2t_2}$. Отсюда, используя свойство пропорции, получаем $3t_1 = 2t_2$. Это второе уравнение.

Таким образом, задача сводится к решению системы:

$$ \begin{cases} 3t_1 = 2t_2, \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $t_2$ через $t_1$: $t_2 = \frac{3}{2}t_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{\frac{3}{2}t_1} = \frac{1}{3}$.

Упростим левую часть: $\frac{1}{t_1} + \frac{2}{3t_1} = \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $3t_1$: $\frac{3}{3t_1} + \frac{2}{3t_1} = \frac{1}{3}$, что дает $\frac{5}{3t_1} = \frac{1}{3}$.

Из пропорции следует $3t_1 = 5 \cdot 3$, то есть $3t_1 = 15$. Находим $t_1 = 5$ часов.

Теперь найдем $t_2$: $t_2 = \frac{3}{2}t_1 = \frac{3}{2} \cdot 5 = 7,5$ часов.

Ответ: первый насос наполнит бассейн за 5 часов, второй — за 7,5 часов.