Номер 1.24, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.24.

1) $\begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = -3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 6xy + 9y^2 = 16, \\ x - y = 6. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 6 \\xy = 8\end{cases}$

Данная система является симметрической, и ее можно решить, используя теорему, обратную теореме Виета. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив значения из системы, получим:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Также систему можно решить методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 6 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(6 - x) = 8$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$6x - x^2 = 8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 6 - x_1 = 6 - 4 = 2$.

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 6 - x_2 = 6 - 2 = 4$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел.

Ответ: $(4; 2)$, $(2; 4)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x - y = 4 \\xy = -3\end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 4 + y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(4 + y)y = -3$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$4y + y^2 = -3$

$y^2 + 4y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 4 + y_1 = 4 + (-1) = 3$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 4 + y_2 = 4 + (-3) = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(3; -1)$, $(1; -3)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 6xy + 9y^2 = 16 \\x - y = 6\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Левая часть $x^2 - 6xy + 9y^2$ является полным квадратом разности, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x - 3y)^2$.

Следовательно, первое уравнение можно переписать в виде:

$(x - 3y)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

$x - 3y = 4$ или $x - 3y = -4$

Теперь необходимо решить две системы линейных уравнений, каждая из которых включает второе уравнение исходной системы.

Случай 1:

$\begin{cases}x - 3y = 4 \\x - y = 6\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x - y) - (x - 3y) = 6 - 4$

$x - y - x + 3y = 2$

$2y = 2$

$y = 1$

Подставим значение $y = 1$ во второе уравнение: $x - 1 = 6$, откуда $x = 7$.

Первое решение системы: $(7; 1)$.

Случай 2:

$\begin{cases}x - 3y = -4 \\x - y = 6\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x - y) - (x - 3y) = 6 - (-4)$

$x - y - x + 3y = 10$

$2y = 10$

$y = 5$

Подставим значение $y = 5$ во второе уравнение: $x - 5 = 6$, откуда $x = 11$.

Второе решение системы: $(11; 5)$.

Ответ: $(7; 1)$, $(11; 5)$.