Номер 1.19, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. При каких значениях $n$ и $m$ вершина параболы $y=nx^2+mx$ расположена в точке (2; 3)?

Дано уравнение параболы $y = nx^2 + mx$. Требуется найти значения параметров $n$ и $m$, если известно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(2; 3)$.

Координаты вершины параболы, заданной в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формуле для абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$. Ордината вершины $y_в$ равна значению функции в точке $x_в$.

В нашем случае коэффициенты уравнения $y = nx^2 + mx$ равны $a=n$ и $b=m$. По условию, абсцисса вершины $x_в = 2$.

Подставим эти значения в формулу для абсциссы вершины:

$2 = -\frac{m}{2n}$

Из этого соотношения выразим $m$ через $n$:

$4n = -m$

$m = -4n$

Это первое уравнение, связывающее наши неизвестные.

Так как точка $(2; 3)$ является вершиной параболы, она принадлежит графику этой функции. Следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x=2$ и $y=3$ в исходное уравнение $y = nx^2 + mx$:

$3 = n \cdot (2)^2 + m \cdot 2$

$3 = 4n + 2m$

Это второе уравнение.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $m = -4n$

2) $3 = 4n + 2m$

Подставим выражение для $m$ из первого уравнения во второе, чтобы найти $n$:

$3 = 4n + 2(-4n)$

$3 = 4n - 8n$

$3 = -4n$

$n = -\frac{3}{4}$

Теперь, зная значение $n$, найдем $m$ из первого уравнения:

$m = -4n = -4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)$

$m = 3$

Таким образом, искомые значения параметров $n = -3/4$ и $m = 3$.

Ответ: $n = -3/4$, $m = 3$.