Номер 1.18, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18

1) $xy=2$;

2) $|x|y=2$;

3) $x|y|=2$;

4) $|x||y|=2$.

1) $xy=2$

Это уравнение можно представить в виде функции $y = 2/x$. Это классическое уравнение обратной пропорциональности, графиком которого является гипербола.
Основные свойства:
- Область определения: $x \neq 0$.
- Область значений: $y \neq 0$.
- График не пересекает оси координат. Оси Ox и Oy являются асимптотами.
- Если $x > 0$, то $y > 0$. Эта часть графика (ветвь) расположена в первой координатной четверти.
- Если $x < 0$, то $y < 0$. Эта часть графика (ветвь) расположена в третьей координатной четверти.
- Функция является нечетной, так как $f(-x) = 2/(-x) = - (2/x) = -f(x)$, поэтому график симметричен относительно начала координат.
Для построения графика найдем несколько точек:
(1, 2), (2, 1), (4, 0.5), (0.5, 4) — для первой четверти.
(-1, -2), (-2, -1), (-4, -0.5), (-0.5, -4) — для третьей четверти.

Ответ: Графиком является гипербола $y=2/x$ с ветвями в первой и третьей координатных четвертях.

2) $|x|y=2$

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $xy=2$. Так как при $x=0$ уравнение не имеет решений, рассматриваем $x > 0$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=2/x$, расположенная в первой координатной четверти.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-xy=2$, или $y=-2/x$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=-2/x$, расположенная во второй координатной четверти (так как $x < 0$ и $y > 0$).
Альтернативный способ — использование геометрических преобразований. График функции $y=f(|x|)$ можно получить из графика $y=f(x)$ следующим образом:
1) Построить график функции $y=f(x)$ для $x \ge 0$.
2) Отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.
В нашем случае $f(x) = 2/x$. График для $x > 0$ — это ветвь гиперболы в I четверти. Отображая ее симметрично относительно оси Oy, мы получаем ветвь во II четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. График симметричен относительно оси Oy.

3) $x|y|=2$

Раскроем модуль по переменной $y$.
1. Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид $xy=2$. Так как при $y=0$ уравнение не имеет решений, рассматриваем $y > 0$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=2/x$, расположенная в первой координатной четверти (так как для $y > 0$ требуется $x > 0$).
2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $x(-y)=2$, или $y=-2/x$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=-2/x$, расположенная в четвертой координатной четверти (так как для $y < 0$ требуется $x > 0$).
Геометрическое преобразование для графика уравнения $F(x, |y|) = 0$, полученного из $F(x, y) = 0$:
1) Построить график уравнения $F(x, y) = 0$ для $y \ge 0$.
2) Отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси Ox.
В нашем случае $F(x,y)=0$ это $xy-2=0$. Часть графика $xy=2$ при $y>0$ — это ветвь в I четверти. Отображая ее симметрично относительно оси Ox, мы получаем ветвь в IV четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и четвертой координатных четвертях. График симметричен относительно оси Ox.

4) $|x||y|=2$

Используя свойство модуля $|a||b| = |ab|$, уравнение можно переписать в виде $|xy|=2$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $xy=2$
2) $xy=-2$
Таким образом, искомый график является объединением графиков двух гипербол: $y=2/x$ и $y=-2/x$.
- График $y=2/x$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях.
- График $y=-2/x$ — это гипербола с ветвями в II и IV четвертях.
В результате получается график, состоящий из четырех ветвей, по одной в каждой координатной четверти.
Также этот график можно получить последовательными преобразованиями. Взяв график $xy=2$ из пункта 1, можно применить преобразование для $|x|$ (симметрия относительно Oy части, где $x>0$), а затем к результату применить преобразование для $|y|$ (симметрия относительно Ox части, где $y>0$).

Ответ: Графиком является объединение двух гипербол $y=2/x$ и $y=-2/x$. Он состоит из четырех ветвей, по одной в каждой координатной четверти, и симметричен относительно осей координат и начала координат.