Номер 7, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. На четырёх карточках записаны числа 3, 4, 5 и 6. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным числу 3?

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо определить общее количество элементарных исходов и количество исходов, благоприятствующих данному событию.

1. Определение общего количества исходов

Нам даны четыре карточки с числами 3, 4, 5, 6. Нужно выбрать две карточки. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=4$ (всего карточек) и $k=2$ (выбираем карточек). Общее число возможных пар (элементарных исходов) $N$ равно:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$

Всего существует 6 возможных пар чисел: (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6).

2. Определение количества благоприятных исходов

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что произведение чисел на двух выбранных карточках будет кратно 3. Произведение двух целых чисел кратно 3, если хотя бы один из сомножителей кратен 3.

В нашем наборе чисел {3, 4, 5, 6} числами, кратными 3, являются 3 и 6.

Таким образом, благоприятным исходом будет выбор любой пары, в которой есть хотя бы одно из чисел 3 или 6. Посчитаем такие пары из общего списка:

• (3, 4) - содержит 3, произведение $12$ кратно 3
• (3, 5) - содержит 3, произведение $15$ кратно 3
• (3, 6) - содержит 3 и 6, произведение $18$ кратно 3
• (4, 6) - содержит 6, произведение $24$ кратно 3
• (5, 6) - содержит 6, произведение $30$ кратно 3

Всего таких пар 5. Это и есть количество благоприятных исходов $M$.

Альтернативный способ — найти количество неблагоприятных исходов. Неблагоприятный исход — это когда произведение не кратно 3, что возможно, только если оба выбранных числа не кратны 3. В нашем наборе это числа 4 и 5. Из них можно составить только одну пару: (4, 5). Значит, количество неблагоприятных исходов равно 1. Тогда количество благоприятных исходов $M$ равно: $M = N - 1 = 6 - 1 = 5$.

3. Расчет вероятности

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N}$

$P = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$