Номер 7, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180.

Для решения этой задачи необходимо найти все натуральные числа, которые делятся на 8 и находятся в промежутке от 50 до 180, а затем вычислить их сумму. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$)
Первый член прогрессии — это наименьшее число, большее 50, которое кратно 8. Для его нахождения разделим 50 на 8:
$50 / 8 = 6.25$
Ближайшее целое число, которое больше 6.25, это 7. Умножим его на 8, чтобы найти первый член прогрессии, удовлетворяющий условию:
$a_1 = 8 \cdot 7 = 56$

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$)
Последний член прогрессии — это наибольшее число, меньшее 180, которое кратно 8. Для его нахождения разделим 180 на 8:
$180 / 8 = 22.5$
Ближайшее целое число, которое меньше 22.5, это 22. Умножим его на 8, чтобы найти последний член прогрессии:
$a_n = 8 \cdot 22 = 176$

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$)
Мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 56$, последним членом $a_n = 176$ и разностью $d = 8$. Количество членов $n$ можно найти по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу:
$176 = 56 + (n-1) \cdot 8$
Вычтем 56 из обеих частей уравнения:
$176 - 56 = (n-1) \cdot 8$
$120 = (n-1) \cdot 8$
Разделим обе части на 8:
$n-1 = 120 / 8$
$n-1 = 15$
$n = 15 + 1 = 16$
Таким образом, в данной последовательности 16 чисел.

4. Найдем сумму членов прогрессии ($S_n$)
Сумму арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим найденные значения $a_1 = 56$, $a_n = 176$ и $n = 16$:
$S_{16} = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{232}{2} \cdot 16$
$S_{16} = 116 \cdot 16$
$S_{16} = 1856$

Ответ: 1856