Номер 6, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. При каком значении $x$ значения выражений $x + 1$, $x + 5$ и $2x + 4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть выражения $x + 1$, $x + 5$ и $2x + 4$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Обозначим их как $b_1$, $b_2$ и $b_3$ соответственно.

$b_1 = x + 1$

$b_2 = x + 5$

$b_3 = 2x + 4$

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим данные выражения в эту формулу и составим уравнение:

$(x + 5)^2 = (x + 1)(2x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 4x + 2x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 + 6x - 10x + 4 - 25 = 0$

$x^2 - 4x - 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $-21$. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, задача имеет два решения, соответствующие найденным значениям $x$.

При $x = 7$

Найдем члены прогрессии, подставив $x=7$ в исходные выражения:

$b_1 = 7 + 1 = 8$

$b_2 = 7 + 5 = 12$

$b_3 = 2(7) + 4 = 14 + 4 = 18$

Получаем последовательность 8, 12, 18. Знаменатель прогрессии $q = \frac{12}{8} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Ответ: при $x=7$ члены прогрессии: 8, 12, 18.

При $x = -3$

Найдем члены прогрессии, подставив $x=-3$ в исходные выражения:

$b_1 = -3 + 1 = -2$

$b_2 = -3 + 5 = 2$

$b_3 = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2$

Получаем последовательность -2, 2, -2. Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{-2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: при $x=-3$ члены прогрессии: -2, 2, -2.