Страница 120 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 10$ и $a_2 = 6$.

В задаче дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой известны первый и второй члены: $a_1 = 10$ и $a_2 = 6$.
Для дальнейших вычислений сначала необходимо найти разность арифметической прогрессии $(d)$. Разность вычисляется по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.
$d = a_2 - a_1 = 6 - 10 = -4$.

Шестнадцатый член
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Чтобы найти шестнадцатый член ($a_{16}$), подставим в формулу значения $n=16$, $a_1=10$ и $d=-4$:
$a_{16} = 10 + (16-1) \cdot (-4) = 10 + 15 \cdot (-4) = 10 - 60 = -50$.
Ответ: $a_{16} = -50$.

Сумма тридцати первых членов
Формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Чтобы найти сумму первых тридцати членов ($S_{30}$), подставим в формулу значения $n=30$, $a_1=10$ и $d=-4$:
$S_{30} = \frac{2 \cdot 10 + (-4)(30-1)}{2} \cdot 30 = \frac{20 - 4 \cdot 29}{2} \cdot 30 = \frac{20 - 116}{2} \cdot 30 = \frac{-96}{2} \cdot 30 = -48 \cdot 30 = -1440$.
Ответ: $S_{30} = -1440$.

2. Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = -64$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Дано:
Первый член прогрессии: $b_1 = -64$
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{2}$

Шестой член

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$): $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Чтобы найти шестой член ($b_6$), подставим в формулу $n=6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$
Теперь подставим известные значения $b_1 = -64$ и $q = \frac{1}{2}$:
$b_6 = -64 \cdot (\frac{1}{2})^5 = -64 \cdot \frac{1}{32} = -\frac{64}{32} = -2$.
Ответ: -2.

Сумма пяти первых членов

Формула для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии ($S_n$): $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Чтобы найти сумму пяти первых членов ($S_5$), подставим в формулу $n=5$:
$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q}$
Подставим известные значения $b_1 = -64$ и $q = \frac{1}{2}$:
$S_5 = \frac{-64 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-64 \cdot (1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}}$
Выполним вычисления в числителе и знаменателе:
$S_5 = \frac{-64 \cdot (\frac{32}{32} - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{-64 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$
$S_5 = \frac{-2 \cdot 31}{\frac{1}{2}} = \frac{-62}{\frac{1}{2}} = -62 \cdot 2 = -124$.
Ответ: -124.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $-125, 25, -5, \dots$

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Эта формула применима, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В заданной прогрессии $-125, 25, -5, \dots$ первый член $b_1 = -125$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый (или третий на второй):$q = \frac{25}{-125} = -\frac{1}{5}$.

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:$|q| = |-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$. Поскольку $\frac{1}{5} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно вычислить по формуле.

Подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-125}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{-125}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-125}{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}} = \frac{-125}{\frac{6}{5}}$.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:$S = -125 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{125 \cdot 5}{6} = -\frac{625}{6}$.

Ответ: $-\frac{625}{6}$.

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного 10,9, если $a_1 = 8,5$, а разность прогрессии $d = 0,3$.

Для решения этой задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_n$ — это n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, и $n$ — номер искомого члена.

По условию нам даны следующие значения:
Искомый член прогрессии $a_n = 10,9$.
Первый член прогрессии $a_1 = 8,5$.
Разность прогрессии $d = 0,3$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $n$:
$10,9 = 8,5 + (n-1) \cdot 0,3$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:
1. Вычтем $8,5$ из обеих частей уравнения:
$(n-1) \cdot 0,3 = 10,9 - 8,5$
$(n-1) \cdot 0,3 = 2,4$
2. Разделим обе части на $0,3$:
$n-1 = \frac{2,4}{0,3}$
$n-1 = 8$
3. Прибавим $1$ к обеим частям, чтобы найти $n$:
$n = 8 + 1$
$n = 9$

Следовательно, номер члена арифметической прогрессии, равного 10,9, — это 9.

Ответ: 9

5. Какие два числа надо вставить между числами 2 и -54, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомые числа - это $b_2$ и $b_3$, а заданные числа - это первый и четвертый члены геометрической прогрессии $(b_n)$. Таким образом, мы имеем:
$b_1 = 2$
$b_4 = -54$

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Используем эту формулу для четвертого члена прогрессии ($n=4$), чтобы найти знаменатель $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$-54 = 2 \cdot q^3$

Решим полученное уравнение относительно $q$:
$q^3 = \frac{-54}{2}$
$q^3 = -27$
$q = \sqrt[3]{-27}$
$q = -3$

Теперь, зная знаменатель прогрессии, мы можем найти второй и третий члены:
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6$
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = -6 \cdot (-3) = 18$

Таким образом, между числами 2 и -54 нужно вставить числа -6 и 18, чтобы получилась геометрическая прогрессия: 2, -6, 18, -54.
Ответ: -6 и 18.

6. При каком значении $x$ значения выражений $x + 1$, $x + 5$ и $2x + 4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть выражения $x + 1$, $x + 5$ и $2x + 4$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Обозначим их как $b_1$, $b_2$ и $b_3$ соответственно.

$b_1 = x + 1$

$b_2 = x + 5$

$b_3 = 2x + 4$

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим данные выражения в эту формулу и составим уравнение:

$(x + 5)^2 = (x + 1)(2x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 4x + 2x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 + 6x - 10x + 4 - 25 = 0$

$x^2 - 4x - 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $-21$. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, задача имеет два решения, соответствующие найденным значениям $x$.

При $x = 7$

Найдем члены прогрессии, подставив $x=7$ в исходные выражения:

$b_1 = 7 + 1 = 8$

$b_2 = 7 + 5 = 12$

$b_3 = 2(7) + 4 = 14 + 4 = 18$

Получаем последовательность 8, 12, 18. Знаменатель прогрессии $q = \frac{12}{8} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Ответ: при $x=7$ члены прогрессии: 8, 12, 18.

При $x = -3$

Найдем члены прогрессии, подставив $x=-3$ в исходные выражения:

$b_1 = -3 + 1 = -2$

$b_2 = -3 + 5 = 2$

$b_3 = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2$

Получаем последовательность -2, 2, -2. Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{-2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: при $x=-3$ члены прогрессии: -2, 2, -2.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180.

Для решения этой задачи необходимо найти все натуральные числа, которые делятся на 8 и находятся в промежутке от 50 до 180, а затем вычислить их сумму. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$)
Первый член прогрессии — это наименьшее число, большее 50, которое кратно 8. Для его нахождения разделим 50 на 8:
$50 / 8 = 6.25$
Ближайшее целое число, которое больше 6.25, это 7. Умножим его на 8, чтобы найти первый член прогрессии, удовлетворяющий условию:
$a_1 = 8 \cdot 7 = 56$

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$)
Последний член прогрессии — это наибольшее число, меньшее 180, которое кратно 8. Для его нахождения разделим 180 на 8:
$180 / 8 = 22.5$
Ближайшее целое число, которое меньше 22.5, это 22. Умножим его на 8, чтобы найти последний член прогрессии:
$a_n = 8 \cdot 22 = 176$

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$)
Мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 56$, последним членом $a_n = 176$ и разностью $d = 8$. Количество членов $n$ можно найти по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу:
$176 = 56 + (n-1) \cdot 8$
Вычтем 56 из обеих частей уравнения:
$176 - 56 = (n-1) \cdot 8$
$120 = (n-1) \cdot 8$
Разделим обе части на 8:
$n-1 = 120 / 8$
$n-1 = 15$
$n = 15 + 1 = 16$
Таким образом, в данной последовательности 16 чисел.

4. Найдем сумму членов прогрессии ($S_n$)
Сумму арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим найденные значения $a_1 = 56$, $a_n = 176$ и $n = 16$:
$S_{16} = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{232}{2} \cdot 16$
$S_{16} = 116 \cdot 16$
$S_{16} = 1856$

Ответ: 1856