Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Функция задана формулой $f(x)=\frac{1}{3}x^2+2x$. Найдите:

1) $f(3)$ и $f(-1)$;

2) нули функции.

1) f(3) и f(-1);

Чтобы найти значения функции $f(3)$ и $f(-1)$, необходимо подставить соответствующие значения аргумента $x=3$ и $x=-1$ в заданную формулу функции $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 2x$.

Вычислим значение $f(3)$:
$f(3) = \frac{1}{3} \cdot (3)^2 + 2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = 3 + 6 = 9$.

Вычислим значение $f(-1)$:
$f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Ответ: $f(3) = 9$, $f(-1) = -1\frac{2}{3}$.

2) нули функции.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
$\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(\frac{1}{3}x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$x_1 = 0$
или
$\frac{1}{3}x + 2 = 0$
$\frac{1}{3}x = -2$
$x_2 = -2 \cdot 3 = -6$

Следовательно, функция имеет два нуля.

Ответ: -6; 0.

2. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 6x - 16}$;

2) $f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{8}{x^2 - 9}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 6x - 16}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 16 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = -2$ и $x = 8$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 8.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 8) \cup (8; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{8}{x^2 - 9}$ определяется двумя условиями, которые должны выполняться одновременно:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 9 \ne 0$.
Решим систему этих условий:
$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ x^2 - 9 \ne 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем: $x \ge -4$.
Из второго условия: $x^2 \ne 9$, откуда $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Теперь объединим эти условия. Мы должны взять все числа, которые больше или равны -4, и исключить из них числа -3 и 3. Оба этих числа входят в промежуток $[-4; +\infty)$.
Таким образом, область определения функции представляет собой объединение промежутков.
Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 4x - 5$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) < 0$.

Данная функция $f(x) = x^2 + 4x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые характеристики.

1. Направление ветвей.
Старший коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Для нахождения ординаты подставим $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$):
$f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
- С осью $Ox$ (при $f(x)=0$):
Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$.
С помощью теоремы Виета находим корни:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1 \cdot x_2 = -5$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости вершину $(-2, -9)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, -5)$. Также отметим точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=-2$, — это точка $(-4, -5)$. Соединим эти точки плавной кривой, чтобы получить параболу.

Теперь, используя график, найдем требуемые значения.

1) область значений данной функции;
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна -9. Все остальные значения функции больше этого числа.
Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток убывания функции;
Функция убывает на том промежутке, где ее график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на левой ветви параболы, до ее вершины. Абсцисса вершины $x=-2$.
Ответ: $(-\infty; -2]$.

3) множество решений неравенства $f(x) < 0$.
Неравенство $f(x) < 0$ означает, что мы ищем те значения $x$, при которых график функции находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями функции, то есть между точками $x=-5$ и $x=1$.
Ответ: $(-5; 1)$.

4. Постройте график функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+4}$;

2) $f(x) = \sqrt{x} + 4$.

1) $f(x) = \sqrt{x + 4}$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$ возьмем за основу график базовой функции $y = \sqrt{x}$. График базовой функции представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат.

График функции вида $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг происходит влево на $a$ единиц.

В нашем случае $a = 4$, что больше нуля, поэтому график функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 4 единицы влево вдоль оси Ox.

Найдем область определения функции: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Область определения $D(f) = [-4; +\infty)$.

Найдем координаты нескольких точек для более точного построения:

• При $x = -4$, $y = \sqrt{-4 + 4} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• При $x = -3$, $y = \sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-3, 1)$.
• При $x = 0$, $y = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x = 5$, $y = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5, 3)$.

Таким образом, график функции — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-4, 0)$ и проходящая через вычисленные точки.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс.

2) $f(x) = \sqrt{x} + 4$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x} + 4$ также используем в качестве основы график функции $y = \sqrt{x}$.

График функции вида $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy). Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх на $b$ единиц.

В нашем случае $b = 4$, что больше нуля, поэтому график функции $f(x) = \sqrt{x} + 4$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Найдем область определения функции: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.

Найдем координаты нескольких точек для построения:

• При $x = 0$, $y = \sqrt{0} + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x = 1$, $y = \sqrt{1} + 4 = 1 + 4 = 5$. Точка $(1, 5)$.
• При $x = 4$, $y = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6$. Точка $(4, 6)$.
• При $x = 9$, $y = \sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7$. Точка $(9, 7)$.

Таким образом, график функции — это ветвь параболы, выходящая из точки $(0, 4)$ и проходящая через вычисленные точки.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x} + 4$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 4 единицы вверх вдоль оси ординат.

5. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $B(3; -7)$?

Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, абсцисса (координата x) ее вершины $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае дано уравнение $y = x^2 + px + q$. Сравнивая его с общим видом, получаем коэффициенты: $a=1$, $b=p$, $c=q$.

По условию задачи, вершина параболы находится в точке $B(3; -7)$. Следовательно, абсцисса вершины $x_v = 3$.

Подставим известные значения в формулу для абсциссы вершины, чтобы найти параметр $p$:

$3 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$

$3 = -\frac{p}{2}$

Умножив обе части уравнения на -2, получаем:

$p = 3 \cdot (-2) = -6$

Теперь мы знаем, что уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 6x + q$.

Так как точка $B(3; -7)$ является вершиной, она принадлежит графику этой параболы. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставим координаты точки $B$ ($x=3$ и $y=-7$) в уравнение, чтобы найти параметр $q$:

$-7 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + q$

Выполним вычисления:

$-7 = 9 - 18 + q$

$-7 = -9 + q$

Отсюда находим $q$:

$q = -7 + 9 = 2$

Таким образом, искомые значения параметров: $p = -6$ и $q = 2$.

Ответ: $p = -6, q = 2$.