Страница 110 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Докажите неравенство $(x-4)(x+9) > (x+12)(x-7)$.

Для доказательства данного неравенства необходимо выполнить тождественные преобразования обеих его частей, чтобы свести его к очевидному верному числовому неравенству.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(x-4)(x+9) = x \cdot x + x \cdot 9 - 4 \cdot x - 4 \cdot 9 = x^2 + 9x - 4x - 36 = x^2 + 5x - 36$.

2. Аналогично раскроем скобки в правой части неравенства:
$(x+12)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) + 12 \cdot x + 12 \cdot (-7) = x^2 - 7x + 12x - 84 = x^2 + 5x - 84$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное неравенство:
$x^2 + 5x - 36 > x^2 + 5x - 84$.

4. Перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, и упростим выражение:
$x^2 + 5x - 36 - x^2 - 5x + 84 > 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-36 + 84) > 0$.
$0 + 0 + 48 > 0$.
$48 > 0$.

В результате равносильных преобразований мы получили верное числовое неравенство $48 > 0$, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

2. Известно, что $3 < x < 8$, $2 < y < 6$. Оцените значение выражения:

1) $2x + y$;

2) $xy$;

3) $x - y$.

1) Для оценки значения выражения $2x + y$ воспользуемся данными неравенствами $3 < x < 8$ и $2 < y < 6$.
Сначала умножим все части первого неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$3 \cdot 2 < 2x < 8 \cdot 2$
$6 < 2x < 16$
Теперь сложим почленно полученное неравенство $6 < 2x < 16$ и исходное неравенство для $y$: $2 < y < 6$.
$6 + 2 < 2x + y < 16 + 6$
$8 < 2x + y < 22$
Ответ: $8 < 2x + y < 22$.

2) Для оценки значения выражения $xy$ воспользуемся данными неравенствами $3 < x < 8$ и $2 < y < 6$.
Поскольку все части обоих неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить:
$3 \cdot 2 < x \cdot y < 8 \cdot 6$
$6 < xy < 48$
Ответ: $6 < xy < 48$.

3) Для оценки значения выражения $x - y$ представим его в виде суммы $x + (-y)$.
Даны неравенства $3 < x < 8$ и $2 < y < 6$.
Сначала найдем оценку для выражения $-y$. Для этого умножим все части неравенства $2 < y < 6$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$2 \cdot (-1) > -y > 6 \cdot (-1)$
$-2 > -y > -6$
Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:
$-6 < -y < -2$
Теперь сложим почленно неравенство для $x$ ($3 < x < 8$) и полученное неравенство для $-y$ ($-6 < -y < -2$):
$3 + (-6) < x + (-y) < 8 + (-2)$
$-3 < x - y < 6$
Ответ: $-3 < x - y < 6$.

3. Решите неравенство:

1) $ \frac{2}{7}x \geq -14; $

2) $ 3x - 8 < 4(2x - 3). $

1) Решим неравенство $\frac{2}{7}x \ge -14$.

Чтобы найти $x$, нужно избавиться от коэффициента $\frac{2}{7}$ перед ним. Для этого умножим обе части неравенства на обратное число, то есть на $\frac{7}{2}$. Поскольку мы умножаем на положительное число ($\frac{7}{2} > 0$), знак неравенства не меняется.

$\frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{2} \ge -14 \cdot \frac{7}{2}$

Выполним умножение:

$x \ge -\frac{14 \cdot 7}{2}$

Сократим дробь в правой части:

$x \ge -7 \cdot 7$

$x \ge -49$

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-49; +\infty)$.

Ответ: $x \ge -49$.

2) Решим неравенство $3x - 8 < 4(2x - 3)$.

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства, умножив 4 на каждый член в скобках:

$3x - 8 < 4 \cdot 2x - 4 \cdot 3$

$3x - 8 < 8x - 12$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $8x$ в левую часть, а $-8$ — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$3x - 8x < -12 + 8$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-5x < -4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $-5$. Важно помнить, что при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число, его знак меняется на противоположный (с "<" на ">").

$\frac{-5x}{-5} > \frac{-4}{-5}$

$x > \frac{4}{5}$

Дробь $\frac{4}{5}$ можно также представить в виде десятичной дроби $0,8$.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(\frac{4}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x > \frac{4}{5}$.

4. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 6x - 24 > 0, \\ -2x + 12 < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 7 < 19, \\ 30 - 8x < 6. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x - 24 > 0, \\ -2x + 12 < 0. \end{cases}$

Для этого решим каждое неравенство в системе по отдельности.

Решение первого неравенства:
$6x - 24 > 0$
Перенесем $-24$ в правую часть, изменив знак:
$6x > 24$
Разделим обе части на 6:
$x > \frac{24}{6}$
$x > 4$

Решение второго неравенства:
$-2x + 12 < 0$
Перенесем $12$ в правую часть, изменив знак:
$-2x < -12$
Разделим обе части на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-12}{-2}$
$x > 6$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x > 4, \\ x > 6. \end{cases}$
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужны значения $x$, которые одновременно больше 4 и больше 6. Этому условию удовлетворяют все числа, которые строго больше 6.

Ответ: $(6, +\infty)$

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x + 7 < 19, \\ 30 - 8x < 6. \end{cases}$

Для этого решим каждое неравенство в системе по отдельности.

Решение первого неравенства:
$2x + 7 < 19$
Перенесем $7$ в правую часть, изменив знак:
$2x < 19 - 7$
$2x < 12$
Разделим обе части на 2:
$x < \frac{12}{2}$
$x < 6$

Решение второго неравенства:
$30 - 8x < 6$
Перенесем $30$ в правую часть, изменив знак:
$-8x < 6 - 30$
$-8x < -24$
Разделим обе части на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-24}{-8}$
$x > 3$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x < 6, \\ x > 3. \end{cases}$
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужны значения $x$, которые одновременно меньше 6 и больше 3. Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 < x < 6$.

Ответ: $(3, 6)$

5. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{2x + 3}{3} - \frac{x + 1}{4} < -1;$

2) $5x + 2 < 4(2x - 1) - 3x.$

1)

Решим неравенство $\frac{2x + 3}{3} - \frac{x + 1}{4} < -1$.

Для начала избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 3 и 4, то есть на 12. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$12 \cdot \left(\frac{2x + 3}{3} - \frac{x + 1}{4}\right) < 12 \cdot (-1)$

$12 \cdot \frac{2x + 3}{3} - 12 \cdot \frac{x + 1}{4} < -12$

Сократим дроби:

$4(2x + 3) - 3(x + 1) < -12$

Раскроем скобки:

$8x + 12 - 3x - 3 < -12$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(8x - 3x) + (12 - 3) < -12$

$5x + 9 < -12$

Перенесем 9 в правую часть, изменив знак:

$5x < -12 - 9$

$5x < -21$

Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется.

$x < -\frac{21}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

$x < -4.2$

Множество решений неравенства — это числовой промежуток от минус бесконечности до -4,2, не включая -4,2.

Ответ: $(-\infty; -4.2)$

2)

Решим неравенство $5x + 2 < 4(2x - 1) - 3x$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$5x + 2 < 8x - 4 - 3x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x + 2 < (8x - 3x) - 4$

$5x + 2 < 5x - 4$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$5x - 5x < -4 - 2$

$0 \cdot x < -6$

$0 < -6$

В результате мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$

6. Найдите целые решения системы неравенств

$ \begin{cases} 2(3x - 4) \ge 4(x + 1) - 3, \\ x(x - 4) - (x + 3)(x - 5) > -5. \end{cases} $

Для решения данной системы неравенств необходимо найти решения каждого неравенства по отдельности, а затем определить их общее множество решений (пересечение). После этого из найденного множества нужно выбрать все целые числа.

Решим первое неравенство системы: $2(3x-4) \ge 4(x+1) - 3$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6x - 8 \ge 4x + 4 - 3$

Упростим правую часть:

$6x - 8 \ge 4x + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные слагаемые — в правой:

$6x - 4x \ge 1 + 8$

Приведем подобные члены:

$2x \ge 9$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x \ge \frac{9}{2}$

Таким образом, $x \ge 4.5$. Решением первого неравенства является промежуток $[4.5; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство системы: $x(x-4) - (x+3)(x-5) > -5$.

Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем правило умножения многочленов:

$x^2 - 4x - (x^2 - 5x + 3x - 15) > -5$

Упростим выражение в скобках:

$x^2 - 4x - (x^2 - 2x - 15) > -5$

Теперь раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$x^2 - 4x - x^2 + 2x + 15 > -5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-2x + 15 > -5$

Перенесем 15 в правую часть с противоположным знаком:

$-2x > -5 - 15$

$-2x > -20$

Разделим обе части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-20}{-2}$

$x < 10$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 10)$.

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение полученных промежутков: $x \ge 4.5$ и $x < 10$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $4.5 \le x < 10$.

Решением системы является интервал $[4.5; 10)$.

По условию задачи, нам нужно найти все целые решения. Выберем все целые числа, которые находятся в промежутке $[4.5; 10)$.

Такими числами являются: 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\sqrt{3x - 9} + \frac{1}{\sqrt{40 - 5x}}$?

Данное выражение имеет смысл (определено), когда оба слагаемых, входящих в него, имеют смысл. Это накладывает следующие ограничения на переменную $x$:

1. Для первого слагаемого $\sqrt{3x - 9}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$3x - 9 \ge 0$
$3x \ge 9$
$x \ge 3$

2. Для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt{40 - 5x}}$ подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе (деление на ноль недопустимо), а также под знаком квадратного корня.
$40 - 5x > 0$
$40 > 5x$
$8 > x$, что то же самое, что и $x < 8$.

Чтобы выражение имело смысл, оба условия должны выполняться одновременно. Найдем пересечение полученных множеств решений, решив систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 3 \\ x < 8 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток, в котором $x$ одновременно больше или равен 3 и меньше 8.
Это соответствует числовому промежутку $[3, 8)$.

Ответ: $x \in [3, 8)$.

8. Докажите неравенство $10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0$.

Для доказательства неравенства $10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые. Заметим, что слагаемые $y^2$ и $-6xy$ могут быть частью квадрата разности. Для этого нам понадобится слагаемое с $x^2$. Представим $10x^2$ как $9x^2 + x^2$.

$10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 = (9x^2 - 6xy + y^2) + x^2 - 4x + 6$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(3x - y)^2$ или $(y - 3x)^2$. Запишем его:

$(y - 3x)^2 + x^2 - 4x + 6$

Теперь выделим полный квадрат для оставшихся слагаемых, содержащих $x$:

$x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 6 = (x^2 - 4x + 4) + 2 = (x - 2)^2 + 2$

Подставим полученное выражение обратно в исходное преобразование:

$10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 = (y - 3x)^2 + (x - 2)^2 + 2$

Теперь проанализируем полученную сумму:

1. $(y - 3x)^2$ — это квадрат действительного числа, следовательно, его значение всегда неотрицательно, то есть $(y - 3x)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$.

2. $(x - 2)^2$ — это также квадрат действительного числа, и его значение всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(y - 3x)^2 + (x - 2)^2 \ge 0$.

Прибавив к этой сумме положительное число 2, мы получим выражение, которое всегда будет больше или равно 2:

$(y - 3x)^2 + (x - 2)^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$

Поскольку $2 > 0$, то и все выражение строго больше нуля для любых действительных значений $x$ и $y$.

Таким образом, неравенство $10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как его левая часть тождественно равна выражению $(y - 3x)^2 + (x - 2)^2 + 2$, которое представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых (квадратов) и положительного числа 2, в силу чего его значение всегда не меньше 2, а значит, строго больше 0.