Страница 112 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство:

1) $x^2 - 7x - 30 > 0;$

2) $x^2 - 4x + 6 < 0;$

3) $x^2 < 25;$

4) $x^2 - 6x + 9 \le 0.$

1) $x^2 - 7x - 30 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 - 7x - 30 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x - 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -3$ и $x = 10$. Неравенство $x^2 - 7x - 30 > 0$ выполняется на тех интервалах, где график параболы расположен выше оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -3)$ и $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (10; +\infty)$.

2) $x^2 - 4x + 6 < 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 4x + 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = x^2 - 4x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Так как у параболы нет точек пересечения с осью абсцисс, она полностью расположена в верхней полуплоскости, то есть значения функции $y = x^2 - 4x + 6$ всегда положительны при любом значении $x$.

Таким образом, не существует значений $x$, при которых выражение $x^2 - 4x + 6$ было бы меньше нуля. Неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) $x^2 < 25$

Перенесем 25 в левую часть неравенства, чтобы привести его к стандартному виду: $x^2 - 25 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 25 = 0$. Используем формулу разности квадратов:

$(x - 5)(x + 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось абсцисс в точках $x = -5$ и $x = 5$. Неравенство $x^2 - 25 < 0$ выполняется на том интервале, где график параболы находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

4) $x^2 - 6x + 9 \le 0$

Заметим, что выражение в левой части неравенства представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$.

Неравенство можно переписать в виде: $(x - 3)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поэтому неравенство $(x - 3)^2 \le 0$ не может быть строго отрицательным ($<0$). Оно может выполняться только в случае равенства нулю.

$(x - 3)^2 = 0$.

Решая это уравнение, получаем: $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Таким образом, неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $x = 3$.

2. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x - 4y = 3, \\ xy + 2y = 9. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - 4y = 3, \\ xy + 2y = 9. \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 3 + 4y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(3 + 4y)y + 2y = 9$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$3y + 4y^2 + 2y = 9$

Приведём подобные слагаемые:

$4y^2 + 5y = 9$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4y^2 + 5y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=5$, $c=-9$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$y_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$

Теперь для каждого найденного значения $y$ вычислим соответствующее значение $x$, используя ранее полученную формулу $x = 3 + 4y$.

1. При $y_1 = 1$:

$x_1 = 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 = 7$

Получили первую пару решений: $(7; 1)$.

2. При $y_2 = -\frac{9}{4}$:

$x_2 = 3 + 4 \cdot (-\frac{9}{4}) = 3 - 9 = -6$

Получили вторую пару решений: $(-6; -\frac{9}{4})$.

Выполним проверку, подставив найденные пары значений в исходную систему.

Проверка для пары $(7; 1)$:

$ \begin{cases} 7 - 4(1) = 7 - 4 = 3 & \text{(верно)} \\ 7(1) + 2(1) = 7 + 2 = 9 & \text{(верно)} \end{cases} $

Проверка для пары $(-6; -\frac{9}{4})$:

$ \begin{cases} -6 - 4(-\frac{9}{4}) = -6 + 9 = 3 & \text{(верно)} \\ (-6)(-\frac{9}{4}) + 2(-\frac{9}{4}) = \frac{54}{4} - \frac{18}{4} = \frac{36}{4} = 9 & \text{(верно)} \end{cases} $

Обе пары чисел являются решениями системы уравнений.

Ответ: $(7; 1)$, $(-6; -\frac{9}{4})$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{7x - x^2}$;

2) $y = \frac{9}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$.

1) $y = \sqrt{7x - x^2}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$7x - x^2 \ge 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x - x^2 = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(7 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $f(x) = 7x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, областью определения функции является промежуток $[0, 7]$.

Ответ: $[0, 7]$

2) $y = \frac{9}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$

Для данной функции выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а так как корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$15 - 2x - x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим его знак, чтобы получить положительный старший коэффициент:

$x^2 + 2x - 15 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 15$, приравняв его к нулю:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.

Так как графиком функции $f(x) = x^2 + 2x - 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1), она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Следовательно, областью определения функции является промежуток $(-5, 3)$.

Ответ: $(-5, 3)$

4. Решите графически систему уравнений $$\begin{cases} y = x^2 - 4x, \\ 2x - y = 8. \end{cases}$$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решением системы.

Графиком этого уравнения является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$.

Найдем точки пересечения с осями координат (нули функции):

При $x=0$, $y = 0^2 - 4(0) = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$.

При $y=0$, $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0$. Корни $x_1=0$, $x_2=4$. Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Для более точного построения найдем несколько дополнительных точек:

• При $x=-1$, $y=(-1)^2-4(-1)=1+4=5$. Точка $(-1; 5)$.
• При $x=1$, $y=1^2-4(1)=1-4=-3$. Точка $(1; -3)$.
• При $x=3$, $y=3^2-4(3)=9-12=-3$. Точка $(3; -3)$.

Выразим $y$ через $x$, чтобы представить уравнение в виде линейной функции $y = kx+b$:

$2x - y = 8 \Rightarrow -y = -2x + 8 \Rightarrow y = 2x - 8$.

Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек.

Составим таблицу значений:

• При $x=0$, $y = 2(0) - 8 = -8$. Точка $(0; -8)$.
• При $x=4$, $y = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Точка $(4; 0)$.

Построим параболу $y = x^2 - 4x$ и прямую $y = 2x - 8$ в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, являются решениями системы.

Из графиков видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

Первая точка пересечения: $(2; -4)$.

Вторая точка пересечения: $(4; 0)$.

Выполним проверку, подставив координаты этих точек в оба уравнения системы:

Для точки $(2; -4)$:

$y = x^2 - 4x \Rightarrow -4 = 2^2 - 4(2) \Rightarrow -4 = 4 - 8 \Rightarrow -4 = -4$ (верно).

$2x - y = 8 \Rightarrow 2(2) - (-4) = 8 \Rightarrow 4 + 4 = 8 \Rightarrow 8 = 8$ (верно).

Для точки $(4; 0)$:

$y = x^2 - 4x \Rightarrow 0 = 4^2 - 4(4) \Rightarrow 0 = 16 - 16 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

$2x - y = 8 \Rightarrow 2(4) - 0 = 8 \Rightarrow 8 - 0 = 8 \Rightarrow 8 = 8$ (верно).

Обе точки удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, они являются решениями системы.

Ответ: $(2; -4)$, $(4; 0)$.

5. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - 6ax - 8a + 1 = 0$ не имеет корней?

$(x^2 + 6ax + 9a^2 - 16$

Данное уравнение $x^2 - 6ax - 8a + 1 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней в том случае, когда его дискриминант $D$ меньше нуля.

Формула дискриминанта для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ следующая: $D = B^2 - 4AC$.

В данном уравнении коэффициенты равны:

$A = 1$

$B = -6a$

$C = -8a + 1$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (-6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8a + 1)$

Упростим полученное выражение:

$D = 36a^2 - 4(-8a + 1) = 36a^2 + 32a - 4$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$36a^2 + 32a - 4 < 0$

Чтобы упростить неравенство, разделим обе его части на 4:

$9a^2 + 8a - 1 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $9a^2 + 8a - 1 = 0$.

Найдем дискриминант этого нового уравнения (относительно переменной $a$):

$D_a = 8^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения равны:

$a_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 - 10}{18} = \frac{-18}{18} = -1$

$a_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Графиком функции $y = 9a^2 + 8a - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $a^2$ положителен). Следовательно, значения функции будут отрицательными между ее корнями.

Таким образом, неравенство $9a^2 + 8a - 1 < 0$ выполняется для всех $a$, находящихся в интервале от -1 до $\frac{1}{9}$.

Ответ: $a \in (-1; \frac{1}{9})$

6. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 16, \\ x - 3y = -2. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 16 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения, $x^2 + 6xy + 9y^2$, является полным квадратом суммы. Используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3y$, мы можем преобразовать это выражение:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x+3y)^2$

Таким образом, первое уравнение системы можно переписать в виде:

$(x+3y)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

$x+3y = 4$ или $x+3y = -4$.

Теперь решим две системы линейных уравнений, каждая из которых состоит из одного из полученных уравнений и второго уравнения исходной системы.

1. Первый случай: $x+3y = 4$

Составим и решим систему:

$\begin{cases} x+3y = 4 \\ x-3y = -2 \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(x+3y) + (x-3y) = 4 + (-2)$

$2x = 2$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, например, в $x-3y = -2$:

$1 - 3y = -2$

$-3y = -2 - 1$

$-3y = -3$

$y = 1$

Таким образом, первая пара решений: $(1; 1)$.

2. Второй случай: $x+3y = -4$

Составим и решим систему:

$\begin{cases} x+3y = -4 \\ x-3y = -2 \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы:

$(x+3y) + (x-3y) = -4 + (-2)$

$2x = -6$

$x = -3$

Подставим найденное значение $x=-3$ в уравнение $x-3y = -2$:

$-3 - 3y = -2$

$-3y = -2 + 3$

$-3y = 1$

$y = -1/3$

Таким образом, вторая пара решений: $(-3; -1/3)$.

Ответ: $(1; 1)$, $(-3; -1/3)$.