Страница 108 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 8$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов.

По условию задачи имеем:

$b_1 = 8$

$q = \frac{1}{2}$

$n = 5$

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы пяти первых членов ($S_5$):

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим $q^n$:

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

2. Затем вычислим числитель дроби:

$8 \cdot (1 - \frac{1}{32}) = 8 \cdot (\frac{32}{32} - \frac{1}{32}) = 8 \cdot \frac{31}{32} = \frac{8 \cdot 31}{32} = \frac{31}{4}$

3. Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

4. Теперь найдем итоговое значение суммы, разделив результат из шага 2 на результат из шага 3:

$S_5 = \frac{\frac{31}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{31}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{31 \cdot 2}{4} = \frac{31}{2} = 15,5$

Ответ: $15,5$

232. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии $\frac{1}{54}$, $\frac{1}{18}$, $\frac{1}{6}$, ...

Дана геометрическая прогрессия, обозначим ее члены как $b_n$. Из условия задачи мы знаем первые три члена: $b_1 = \frac{1}{54}$, $b_2 = \frac{1}{18}$, $b_3 = \frac{1}{6}$.

Для нахождения суммы первых шести членов нам необходимо знать первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$.

1. Определение первого члена и знаменателя прогрессии.

Первый член нам уже известен: $b_1 = \frac{1}{54}$.

Знаменатель $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Найдем его, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/18}{1/54} = \frac{1}{18} \cdot \frac{54}{1} = \frac{54}{18} = 3$.

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = 3$.

2. Расчет суммы шести первых членов.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае необходимо найти сумму шести первых членов, то есть $n=6$. Подставим известные значения $b_1 = \frac{1}{54}$, $q = 3$ и $n = 6$ в формулу:

$S_6 = \frac{\frac{1}{54}(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Сначала вычислим $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Теперь подставим это значение в наше выражение для $S_6$:

$S_6 = \frac{\frac{1}{54}(729 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{54} \cdot 728}{2} = \frac{728}{54 \cdot 2} = \frac{728}{108}$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4:

$S_6 = \frac{728 \div 4}{108 \div 4} = \frac{182}{27}$.

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$182 \div 27 = 6$ с остатком $20$ ($182 = 6 \cdot 27 + 20$).

Следовательно, $S_6 = 6\frac{20}{27}$.

Ответ: $6\frac{20}{27}$.

233. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$, если:

1) $b_4 = 100, q = 4;$

2) $b_1 = 2\sqrt{2}, b_7 = 16\sqrt{2}, q > 0;$

3) $b_2 = 12, b_5 = 324.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

1) Дано: $b_4 = 100$, $q = 4$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$.

Используя формулу n-го члена для $n=4$, получаем:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения:

$100 = b_1 \cdot 4^3$

$100 = b_1 \cdot 64$

$b_1 = \frac{100}{64} = \frac{25}{16}$

Теперь можем найти сумму первых четырех членов прогрессии $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{25}{16}(4^4 - 1)}{4 - 1} = \frac{\frac{25}{16}(256 - 1)}{3} = \frac{\frac{25}{16} \cdot 255}{3}$

$S_4 = \frac{25 \cdot 255}{16 \cdot 3} = \frac{25 \cdot 85}{16} = \frac{2125}{16}$

Ответ: $\frac{2125}{16}$.

2) Дано: $b_1 = 2\sqrt{2}$, $b_7 = 16\sqrt{2}$, $q > 0$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена для $n=7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Подставим известные значения:

$16\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot q^6$

Разделим обе части уравнения на $2\sqrt{2}$:

$q^6 = \frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 8$

$q = \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

Поскольку по условию $q > 0$, это значение нам подходит.

Теперь найдем сумму $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{2\sqrt{2}((\sqrt{2})^4 - 1)}{\sqrt{2} - 1}$

$S_4 = \frac{2\sqrt{2}(4 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:

$S_4 = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{6 \cdot 2 + 6\sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{1} = 12 + 6\sqrt{2}$

Ответ: $12 + 6\sqrt{2}$.

3) Дано: $b_2 = 12$, $b_5 = 324$.

Для нахождения $b_1$ и $q$ составим систему уравнений:

$b_2 = b_1 \cdot q = 12$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 324$

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q} = \frac{324}{12}$

$q^3 = 27$

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь найдем $b_1$ из первого уравнения:

$b_1 \cdot 3 = 12$

$b_1 = \frac{12}{3} = 4$

Теперь, зная $b_1 = 4$ и $q = 3$, найдем сумму $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{4(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{4(81 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 80}{2} = 2 \cdot 80 = 160$

Ответ: $160$.

234. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 5 \cdot 2^{n+1}$. Найдите сумму семи первых её членов.

Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии $(b_n)$, заданной формулой $b_n = 5 \cdot 2^{n+1}$, воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель.

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$. Для этого подставим в формулу $n = 1$:

$b_1 = 5 \cdot 2^{1+1} = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$. Знаменатель можно найти, разделив второй член на первый. Сначала найдем второй член $b_2$, подставив $n = 2$:

$b_2 = 5 \cdot 2^{2+1} = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$.

Теперь вычислим знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{20} = 2$.

3. Найдем сумму первых семи членов $S_7$. Теперь, зная $b_1 = 20$, $q = 2$ и $n = 7$, подставим эти значения в формулу суммы:

$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{20 \cdot (2^7 - 1)}{2 - 1}$.

Выполним вычисления:

$2^7 = 128$.

$S_7 = \frac{20 \cdot (128 - 1)}{1} = 20 \cdot 127 = 2540$.

Ответ: 2540

235. Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $\frac{1}{3}$, а сумма пяти первых членов равна $\frac{40}{9}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$,

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам известны следующие величины:

• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{3}$
• Количество членов: $n = 5$
• Сумма первых пяти членов: $S_5 = \frac{40}{9}$

Нам необходимо найти первый член прогрессии $b_1$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{40}{9} = \frac{b_1(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}}$

Теперь выполним вычисления, чтобы найти $b_1$.

1. Вычислим знаменатель $1 - q$:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

2. Вычислим $q^5$:

$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$

3. Вычислим выражение в скобках $1 - q^5$:

$1 - \frac{1}{243} = \frac{243}{243} - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}$

4. Подставим полученные значения в уравнение:

$\frac{40}{9} = \frac{b_1 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

5. Выразим $b_1$. Для этого сначала упростим правую часть:

$\frac{b_1 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = b_1 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = b_1 \cdot \frac{242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = b_1 \cdot \frac{121}{81}$

6. Теперь наше уравнение выглядит так:

$\frac{40}{9} = b_1 \cdot \frac{121}{81}$

7. Найдём $b_1$:

$b_1 = \frac{40}{9} \div \frac{121}{81} = \frac{40}{9} \cdot \frac{81}{121}$

8. Сократим дробь и вычислим результат:

$b_1 = \frac{40 \cdot 81}{9 \cdot 121} = \frac{40 \cdot 9}{121} = \frac{360}{121}$

Ответ: $\frac{360}{121}$

236. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии $(c_n)$, если $c_1 = -9$, знаменатель $q = -2$, а сумма всех членов $S_n = -99$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В условии даны следующие значения:

Первый член прогрессии $c_1 = -9$.
Знаменатель прогрессии $q = -2$.
Сумма всех членов прогрессии $S_n = -99$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти количество членов $n$:

$-99 = \frac{-9 \cdot ((-2)^n - 1)}{-2 - 1}$

Упростим знаменатель дроби:

$-99 = \frac{-9 \cdot ((-2)^n - 1)}{-3}$

Разделим числитель на знаменатель в правой части уравнения:

$-99 = 3 \cdot ((-2)^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{-99}{3} = (-2)^n - 1$

$-33 = (-2)^n - 1$

Перенесем $-1$ в левую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$-33 + 1 = (-2)^n$

$-32 = (-2)^n$

Теперь необходимо найти степень $n$, в которую нужно возвести $-2$, чтобы получить $-32$. Так как основание степени отрицательное, а результат отрицательный, степень $n$ должна быть нечетной.

Подбором находим, что $(-2)^5 = -32$.

Следовательно, $n=5$.

Ответ: 5

237. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и второго членов равна 90. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть $b_n$ – n-й член геометрической прогрессии, $b_1$ – её первый член, а $q$ – её знаменатель.

По условию задачи, сумма второго и третьего членов равна 30, а разность четвёртого и второго членов равна 90. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} b_2 + b_3 = 30 \\ b_4 - b_2 = 90 \end{cases} $

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$ \begin{cases} b_1 q + b_1 q^2 = 30 \\ b_1 q^3 - b_1 q = 90 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1 q (1 + q) = 30 \\ b_1 q (q^2 - 1) = 90 \end{cases} $

Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$, что следует из того, что правые части не равны нулю):

$\frac{b_1 q (q^2 - 1)}{b_1 q (1 + q)} = \frac{90}{30}$

Сократим дробь в левой части, используя формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$:

$\frac{(q - 1)(q + 1)}{1 + q} = 3$

$q - 1 = 3$

Отсюда находим знаменатель прогрессии:

$q = 4$

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 4$ в первое уравнение системы $b_1 q (1 + q) = 30$:

$b_1 \cdot 4 (1 + 4) = 30$

$b_1 \cdot 4 \cdot 5 = 30$

$20 b_1 = 30$

$b_1 = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1,5$

Нам нужно найти сумму пяти первых членов прогрессии, $S_5$. Воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 1,5$, $q = 4$ и $n = 5$:

$S_5 = \frac{1,5(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{1,5(1024 - 1)}{3} = \frac{1,5 \cdot 1023}{3} = 0,5 \cdot 1023 = 511,5$

Ответ: 511,5

238. Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии $(y_n)$, если $y_4 - y_2 = -24$, $y_3 + y_2 = 6$, а сумма всех членов $S_n = -182$.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $y_1$, а знаменатель как $q$.

Исходя из условия, составим систему уравнений. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 q^{n-1}$.

$ \begin{cases} y_4 - y_2 = -24 \\ y_3 + y_2 = 6 \end{cases} \implies \begin{cases} y_1 q^3 - y_1 q = -24 \\ y_1 q^2 + y_1 q = 6 \end{cases} $

Вынесем общие множители:

$ \begin{cases} y_1 q (q^2 - 1) = -24 \\ y_1 q (q + 1) = 6 \end{cases} $

Разложим выражение $q^2-1$ в первом уравнении на множители $(q-1)(q+1)$, получим $y_1 q (q-1)(q+1) = -24$. Теперь подставим второе уравнение $y_1 q (q+1) = 6$ в преобразованное первое:

$6 \cdot (q-1) = -24$

Разделим обе части на 6:

$q-1 = -4$

$q = -3$

Ответ: $q = -3$.

Теперь, зная знаменатель $q=-3$, найдем первый член $y_1$ из второго уравнения системы $y_1 q (q + 1) = 6$:

$y_1 (-3) (-3 + 1) = 6$

$y_1 (-3) (-2) = 6$

$6y_1 = 6$

$y_1 = 1$

Ответ: $y_1 = 1$.

Для нахождения количества членов $n$ используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{y_1(q^n - 1)}{q - 1}$ и данные из условия $S_n = -182$. Подставим известные значения $y_1=1$ и $q=-3$:

$-182 = \frac{1 \cdot ((-3)^n - 1)}{-3 - 1}$

$-182 = \frac{(-3)^n - 1}{-4}$

Умножим обе части уравнения на -4:

$728 = (-3)^n - 1$

$729 = (-3)^n$

Поскольку $729 = 3^6$ и основание степени отрицательное, показатель степени $n$ должен быть четным. Таким образом, $n=6$.

Ответ: $n=6$.