Номер 233, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$, если:

1) $b_4 = 100, q = 4;$

2) $b_1 = 2\sqrt{2}, b_7 = 16\sqrt{2}, q > 0;$

3) $b_2 = 12, b_5 = 324.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

1) Дано: $b_4 = 100$, $q = 4$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$.

Используя формулу n-го члена для $n=4$, получаем:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения:

$100 = b_1 \cdot 4^3$

$100 = b_1 \cdot 64$

$b_1 = \frac{100}{64} = \frac{25}{16}$

Теперь можем найти сумму первых четырех членов прогрессии $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{25}{16}(4^4 - 1)}{4 - 1} = \frac{\frac{25}{16}(256 - 1)}{3} = \frac{\frac{25}{16} \cdot 255}{3}$

$S_4 = \frac{25 \cdot 255}{16 \cdot 3} = \frac{25 \cdot 85}{16} = \frac{2125}{16}$

Ответ: $\frac{2125}{16}$.

2) Дано: $b_1 = 2\sqrt{2}$, $b_7 = 16\sqrt{2}$, $q > 0$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена для $n=7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Подставим известные значения:

$16\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot q^6$

Разделим обе части уравнения на $2\sqrt{2}$:

$q^6 = \frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 8$

$q = \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

Поскольку по условию $q > 0$, это значение нам подходит.

Теперь найдем сумму $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{2\sqrt{2}((\sqrt{2})^4 - 1)}{\sqrt{2} - 1}$

$S_4 = \frac{2\sqrt{2}(4 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:

$S_4 = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{6 \cdot 2 + 6\sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{12 + 6\sqrt{2}}{1} = 12 + 6\sqrt{2}$

Ответ: $12 + 6\sqrt{2}$.

3) Дано: $b_2 = 12$, $b_5 = 324$.

Для нахождения $b_1$ и $q$ составим систему уравнений:

$b_2 = b_1 \cdot q = 12$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 324$

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q} = \frac{324}{12}$

$q^3 = 27$

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь найдем $b_1$ из первого уравнения:

$b_1 \cdot 3 = 12$

$b_1 = \frac{12}{3} = 4$

Теперь, зная $b_1 = 4$ и $q = 3$, найдем сумму $S_4$:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{4(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{4(81 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 80}{2} = 2 \cdot 80 = 160$

Ответ: $160$.