Номер 239, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 96, 24, 6, ... ;

2) 6, $2\sqrt{3}$, 2, ... .

1) 96, 24, 6, ...

Данная последовательность является бесконечной геометрической прогрессией. Сумма такой прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула применима только в том случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной прогрессии первый член $b_1 = 96$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{96} = \frac{1}{4}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму прогрессии.

Подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{96}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{96}{\frac{4-1}{4}} = \frac{96}{\frac{3}{4}} = 96 \cdot \frac{4}{3} = 32 \cdot 4 = 128$.

Ответ: 128

2) 6, $2\sqrt{3}$, 2, ...

Эта последовательность также является бесконечной геометрической прогрессией. Для нахождения ее суммы воспользуемся той же формулой $S = \frac{b_1}{1 - q}$ при условии $|q| < 1$.

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{\sqrt{3}}{3}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Чтобы убедиться, что это значение меньше 1, можно сравнить их квадраты: $(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} < 1$, то и $\frac{\sqrt{3}}{3} < 1$. Условие сходимости выполняется.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{6}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{3 - \sqrt{3}} = \frac{18}{3 - \sqrt{3}}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $3 + \sqrt{3}$:

$S = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{6}$.

Сократим дробь на 6:

$S = 3(3 + \sqrt{3}) = 9 + 3\sqrt{3}$.

Ответ: $9 + 3\sqrt{3}$