Номер 244, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 125, а сумма трёх её первых членов равна 124. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Поскольку сумма бесконечной прогрессии существует, её знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Сумма первых трёх членов прогрессии $S_3$ представляет собой сумму $b_1$, $b_2$ и $b_3$:

$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2)$

Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} S = \frac{b_1}{1-q} = 125 \\ S_3 = b_1(1+q+q^2) = 124 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. Для $n=3$ имеем:

$S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$

Мы можем переписать эту формулу, используя выражение для $S$:

$S_3 = \left(\frac{b_1}{1-q}\right) \cdot (1-q^3) = S \cdot (1-q^3)$

Теперь подставим известные значения $S=125$ и $S_3=124$ в полученное уравнение:

$124 = 125 \cdot (1-q^3)$

Выразим из этого уравнения $q^3$:

$1-q^3 = \frac{124}{125}$

$q^3 = 1 - \frac{124}{125}$

$q^3 = \frac{125 - 124}{125}$

$q^3 = \frac{1}{125}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$

Найденный знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$ ($|\frac{1}{5}| < 1$).

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя первое уравнение системы $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$125 = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{5}}$

$125 = \frac{b_1}{\frac{4}{5}}$

Отсюда выражаем $b_1$:

$b_1 = 125 \cdot \frac{4}{5}$

$b_1 = \frac{125 \cdot 4}{5} = 25 \cdot 4 = 100$

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 100$, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$.