Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 96, 24, 6, ... ;

2) 6, $2\sqrt{3}$, 2, ... .

1) 96, 24, 6, ...

Данная последовательность является бесконечной геометрической прогрессией. Сумма такой прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула применима только в том случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной прогрессии первый член $b_1 = 96$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{96} = \frac{1}{4}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму прогрессии.

Подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{96}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{96}{\frac{4-1}{4}} = \frac{96}{\frac{3}{4}} = 96 \cdot \frac{4}{3} = 32 \cdot 4 = 128$.

Ответ: 128

2) 6, $2\sqrt{3}$, 2, ...

Эта последовательность также является бесконечной геометрической прогрессией. Для нахождения ее суммы воспользуемся той же формулой $S = \frac{b_1}{1 - q}$ при условии $|q| < 1$.

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{\sqrt{3}}{3}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Чтобы убедиться, что это значение меньше 1, можно сравнить их квадраты: $(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} < 1$, то и $\frac{\sqrt{3}}{3} < 1$. Условие сходимости выполняется.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{6}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{3 - \sqrt{3}} = \frac{18}{3 - \sqrt{3}}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $3 + \sqrt{3}$:

$S = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{6}$.

Сократим дробь на 6:

$S = 3(3 + \sqrt{3}) = 9 + 3\sqrt{3}$.

Ответ: $9 + 3\sqrt{3}$

240. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) $0,444...$ ; 3) $0,8333...$ ;

2) $2,(36)$; 4) $3,7(2)$.

1) Для преобразования числа $0,444...$ (или $0,(4)$) в обыкновенную дробь, обозначим его как $x$.
$x = 0,444...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 4,444...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 4,444... - 0,444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

2) Число $2,(36)$ представляет собой сумму целой части 2 и периодической дроби $0,(36)$.
Сначала преобразуем дробную часть. Обозначим $x = 0,(36) = 0,3636...$
В периоде две цифры, поэтому умножим уравнение на 100:
$100x = 36,3636...$
Вычтем из нового уравнения исходное:
$100x - x = 36,3636... - 0,3636...$
$99x = 36$
$x = \frac{36}{99}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$
Теперь добавим целую часть:
$2,(36) = 2 + \frac{4}{11} = 2\frac{4}{11} = \frac{2 \times 11 + 4}{11} = \frac{26}{11}$
Ответ: $\frac{26}{11}$

3) Число $0,8333...$ (или $0,8(3)$) является смешанной периодической дробью. Обозначим его как $x$.
$x = 0,8333...$
Умножим на 10, чтобы непериодическая часть ($8$) оказалась слева от запятой:
$10x = 8,333...$
Умножим еще раз на 10, чтобы сместить запятую на одну цифру периода:
$100x = 83,333...$
Вычтем из третьего уравнения второе:
$100x - 10x = 83,333... - 8,333...$
$90x = 75$
$x = \frac{75}{90}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:
$x = \frac{75 \div 15}{90 \div 15} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

4) Число $3,7(2)$ (или $3,7222...$) является смешанной периодической дробью с целой частью. Обозначим его как $x$.
$x = 3,7222...$
Умножим на 10, чтобы после запятой остался только чистый период:
$10x = 37,222...$
Умножим еще раз на 10, чтобы сместить запятую на одну цифру периода:
$100x = 372,222...$
Вычтем из третьего уравнения второе:
$100x - 10x = 372,222... - 37,222...$
$90x = 335$
$x = \frac{335}{90}$
Сократим дробь на 5:
$x = \frac{335 \div 5}{90 \div 5} = \frac{67}{18}$
Эту дробь можно также представить в виде смешанного числа $3\frac{13}{18}$.
Ответ: $\frac{67}{18}$

241. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 21, а знаменатель равен $\frac{2}{7}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$

где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Условие сходимости прогрессии ($|q| < 1$) выполняется, так как $| \frac{2}{7} | < 1$.

По условию задачи нам известны:

• Сумма прогрессии $S = 21$
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{7}$

Нам необходимо найти первый член прогрессии $b_1$.

Выразим $b_1$ из формулы суммы:

$$ b_1 = S \cdot (1 - q) $$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$$ b_1 = 21 \cdot (1 - \frac{2}{7}) $$

Сначала вычислим выражение в скобках:

$$ 1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} $$

Теперь найдем значение $b_1$:

$$ b_1 = 21 \cdot \frac{5}{7} = \frac{21 \cdot 5}{7} = 3 \cdot 5 = 15 $$

Таким образом, первый член бесконечной геометрической прогрессии равен 15.

Ответ: 15

242. Найдите третий член бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен $-40$, а сумма равна $-25$.

Обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как $b_1$, ее знаменатель как $q$, и ее сумму как $S$.

Из условия задачи нам известно:
$b_1 = -40$
$S = -25$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $|q| < 1$.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$-25 = \frac{-40}{1 - q}$

Теперь решим полученное уравнение:
$1 - q = \frac{-40}{-25}$
$1 - q = \frac{8}{5}$
$1 - q = 1.6$
$q = 1 - 1.6$
$q = -0.6$

Проверим условие сходимости прогрессии: $|q| = |-0.6| = 0.6$. Так как $0.6 < 1$, условие выполняется, и сумма существует.

Третий член геометрической прогрессии $b_3$ можно найти по формуле n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

При $n=3$ формула имеет вид:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим значения $b_1 = -40$ и $q = -0.6$:
$b_3 = -40 \cdot (-0.6)^2 = -40 \cdot 0.36$
$b_3 = -14.4$

Ответ: -14.4

243. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_3 = 18$, $b_5 = 2$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$) вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима только при условии, что $|q| < 1$.

Для нахождения суммы необходимо определить значения $b_1$ и $q$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$ и данные из условия: $b_3 = 18$ и $b_5 = 2$.

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3}$

$2 = 18 \cdot q^2$

Отсюда выражаем $q^2$:

$q^2 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Знаменатель $q$ может иметь два значения: $q = \frac{1}{3}$ или $q = -\frac{1}{3}$.

Оба значения удовлетворяют условию $|q|<1$, следовательно, задача имеет два возможных решения.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{18}{\frac{1}{9}} = 18 \cdot 9 = 162$.

Теперь вычислим сумму для каждого из двух случаев.

Если $q = \frac{1}{3}$

Сумма прогрессии равна:

$S_1 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{162}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 81 \cdot 3 = 243$.

Если $q = -\frac{1}{3}$

Сумма прогрессии равна:

$S_2 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{162}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{162}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{4}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{4} = \frac{486}{4} = \frac{243}{2} = 121.5$.

Ответ: 243 или 121.5.

244. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 125, а сумма трёх её первых членов равна 124. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Поскольку сумма бесконечной прогрессии существует, её знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Сумма первых трёх членов прогрессии $S_3$ представляет собой сумму $b_1$, $b_2$ и $b_3$:

$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2)$

Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} S = \frac{b_1}{1-q} = 125 \\ S_3 = b_1(1+q+q^2) = 124 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. Для $n=3$ имеем:

$S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$

Мы можем переписать эту формулу, используя выражение для $S$:

$S_3 = \left(\frac{b_1}{1-q}\right) \cdot (1-q^3) = S \cdot (1-q^3)$

Теперь подставим известные значения $S=125$ и $S_3=124$ в полученное уравнение:

$124 = 125 \cdot (1-q^3)$

Выразим из этого уравнения $q^3$:

$1-q^3 = \frac{124}{125}$

$q^3 = 1 - \frac{124}{125}$

$q^3 = \frac{125 - 124}{125}$

$q^3 = \frac{1}{125}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$

Найденный знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$ ($|\frac{1}{5}| < 1$).

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя первое уравнение системы $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$125 = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{5}}$

$125 = \frac{b_1}{\frac{4}{5}}$

Отсюда выражаем $b_1$:

$b_1 = 125 \cdot \frac{4}{5}$

$b_1 = \frac{125 \cdot 4}{5} = 25 \cdot 4 = 100$

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 100$, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$.