Страница 102 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Запишите пять первых членов последовательности:

1) двузначных чисел, кратных числу 9, взятых в порядке убывания;

2) правильных обыкновенных дробей с числителем 19, взятых в порядке убывания;

3) натуральных чисел, дающих при делении на 7 остаток 4, взятых в порядке возрастания.

1) двузначных чисел, кратных числу 9, взятых в порядке убывания;

Двузначными числами являются целые числа в диапазоне от 10 до 99. Нам необходимо найти те из них, которые делятся на 9 нацело, и расположить их в порядке убывания (от большего к меньшему).

Сначала найдем самое большое двузначное число, которое кратно 9. Это число 99, так как $99 = 11 \times 9$. Это будет первый член нашей последовательности.

Каждый следующий член последовательности будет на 9 меньше предыдущего, так как мы ищем числа, кратные 9, в порядке убывания.

• Первый член: 99.
• Второй член: $99 - 9 = 90$.
• Третий член: $90 - 9 = 81$.
• Четвертый член: $81 - 9 = 72$.
• Пятый член: $72 - 9 = 63$.

Таким образом, мы получили первые пять членов последовательности.

Ответ: 99, 90, 81, 72, 63.

2) правильных обыкновенных дробей с числителем 19, взятых в порядке убывания;

Правильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае числитель равен 19. Следовательно, знаменатель $n$ должен быть натуральным числом, большим 19, то есть $n > 19$.

Чтобы упорядочить дроби с одинаковым положительным числителем по убыванию, их знаменатели должны быть упорядочены по возрастанию. То есть, чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби.

Найдем первые пять членов последовательности, начиная с наименьшего возможного знаменателя.

• Наименьший натуральный знаменатель, больший 19, это 20. Первая и самая большая дробь: $\frac{19}{20}$.
• Следующий знаменатель — 21. Вторая дробь: $\frac{19}{21}$.
• Следующий знаменатель — 22. Третья дробь: $\frac{19}{22}$.
• Следующий знаменатель — 23. Четвертая дробь: $\frac{19}{23}$.
• Следующий знаменатель — 24. Пятая дробь: $\frac{19}{24}$.

Полученная последовательность дробей является убывающей.

Ответ: $\frac{19}{20}, \frac{19}{21}, \frac{19}{22}, \frac{19}{23}, \frac{19}{24}$.

3) натуральных чисел, дающих при делении на 7 остаток 4, взятых в порядке возрастания.

Числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4, можно описать общей формулой: $a = 7k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, 3, \dots$). Нам нужно найти первые пять таких натуральных чисел в порядке возрастания.

Для этого мы будем подставлять в формулу последовательные значения $k$, начиная с $k=0$.

• При $k=0$: $a_1 = 7 \cdot 0 + 4 = 4$.
• При $k=1$: $a_2 = 7 \cdot 1 + 4 = 11$.
• При $k=2$: $a_3 = 7 \cdot 2 + 4 = 18$.
• При $k=3$: $a_4 = 7 \cdot 3 + 4 = 25$.
• При $k=4$: $a_5 = 7 \cdot 4 + 4 = 32$.

Таким образом, мы нашли первые пять членов последовательности в порядке возрастания.

Ответ: 4, 11, 18, 25, 32.

178. Найдите четыре первых члена последовательности $(a_n)$, заданной формулой $n$-го члена:

1) $a_n = 5 - n$;

2) $a_n = 3n + 1$;

3) $a_n = \frac{n^2 + 1}{n}$;

4) $a_n = \frac{5^n}{(n + 1)^2}$.

Чтобы найти первые четыре члена последовательности ($a_n$), необходимо подставить в формулу n-го члена значения $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ и $n = 4$.

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 5 - n$, найдем первые четыре члена:
При $n=1$: $a_1 = 5 - 1 = 4$;
При $n=2$: $a_2 = 5 - 2 = 3$;
При $n=3$: $a_3 = 5 - 3 = 2$;
При $n=4$: $a_4 = 5 - 4 = 1$.
Ответ: 4, 3, 2, 1.

2) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 3n + 1$, найдем первые четыре члена:
При $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$;
При $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7$;
При $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10$;
При $n=4$: $a_4 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$.
Ответ: 4, 7, 10, 13.

3) Для последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{n^2 + 1}{n}$, найдем первые четыре члена:
При $n=1$: $a_1 = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$;
При $n=2$: $a_2 = \frac{2^2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$;
При $n=3$: $a_3 = \frac{3^2 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3}$;
При $n=4$: $a_4 = \frac{4^2 + 1}{4} = \frac{16 + 1}{4} = \frac{17}{4}$.
Ответ: 2, $\frac{5}{2}$, $\frac{10}{3}$, $\frac{17}{4}$.

4) Для последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{5^n}{(n + 1)^2}$, найдем первые четыре члена:
При $n=1$: $a_1 = \frac{5^1}{(1 + 1)^2} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4}$;
При $n=2$: $a_2 = \frac{5^2}{(2 + 1)^2} = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9}$;
При $n=3$: $a_3 = \frac{5^3}{(3 + 1)^2} = \frac{125}{4^2} = \frac{125}{16}$;
При $n=4$: $a_4 = \frac{5^4}{(4 + 1)^2} = \frac{625}{5^2} = \frac{625}{25} = 25$.
Ответ: $\frac{5}{4}$, $\frac{25}{9}$, $\frac{125}{16}$, 25.

179. Найдите второй, восьмой и сотый члены последовательности $(b_n)$, заданной формулой $n$-го члена:

1) $b_n = \frac{10}{n+2};$

2) $b_n = 0,8 - 0,3n;$

3) $b_n = n^2 + 2n;$

4) $b_n = (-1)^{n-1} + (-1)^{n+1}.$

Чтобы найти указанные члены последовательности $(b_n)$, нужно подставить в формулу $n$-го члена соответствующие значения $n$: 2 для второго члена, 8 для восьмого и 100 для сотого.

1) Дана последовательность $b_n = \frac{10}{n+2}$.

Найдем второй член ($n=2$):
$b_2 = \frac{10}{2+2} = \frac{10}{4} = 2,5$.

Найдем восьмой член ($n=8$):
$b_8 = \frac{10}{8+2} = \frac{10}{10} = 1$.

Найдем сотый член ($n=100$):
$b_{100} = \frac{10}{100+2} = \frac{10}{102} = \frac{5}{51}$.

Ответ: $b_2 = 2,5$; $b_8 = 1$; $b_{100} = \frac{5}{51}$.

2) Дана последовательность $b_n = 0,8 - 0,3n$.

Найдем второй член ($n=2$):
$b_2 = 0,8 - 0,3 \cdot 2 = 0,8 - 0,6 = 0,2$.

Найдем восьмой член ($n=8$):
$b_8 = 0,8 - 0,3 \cdot 8 = 0,8 - 2,4 = -1,6$.

Найдем сотый член ($n=100$):
$b_{100} = 0,8 - 0,3 \cdot 100 = 0,8 - 30 = -29,2$.

Ответ: $b_2 = 0,2$; $b_8 = -1,6$; $b_{100} = -29,2$.

3) Дана последовательность $b_n = n^2 + 2n$.

Найдем второй член ($n=2$):
$b_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8$.

Найдем восьмой член ($n=8$):
$b_8 = 8^2 + 2 \cdot 8 = 64 + 16 = 80$.

Найдем сотый член ($n=100$):
$b_{100} = 100^2 + 2 \cdot 100 = 10000 + 200 = 10200$.

Ответ: $b_2 = 8$; $b_8 = 80$; $b_{100} = 10200$.

4) Дана последовательность $b_n = (-1)^{n-1} + (-1)^{n+1}$.

Найдем второй член ($n=2$):
$b_2 = (-1)^{2-1} + (-1)^{2+1} = (-1)^1 + (-1)^3 = -1 + (-1) = -2$.

Найдем восьмой член ($n=8$):
$b_8 = (-1)^{8-1} + (-1)^{8+1} = (-1)^7 + (-1)^9 = -1 + (-1) = -2$.

Найдем сотый член ($n=100$):
$b_{100} = (-1)^{100-1} + (-1)^{100+1} = (-1)^{99} + (-1)^{101} = -1 + (-1) = -2$.

Ответ: $b_2 = -2$; $b_8 = -2$; $b_{100} = -2$.

180. Последовательность $ (c_n) $ задана формулой $n$-го члена

$c_n = 3 + \frac{1}{3}n$. Найдите:

1) $c_1$;

2) $c_9$;

3) $c_{150}$;

4) $c_{k+3}$.

Для нахождения указанных членов последовательности необходимо в формулу $c_n = 3 + \frac{1}{3}n$ подставить соответствующий номер члена $n$.

1) $c_1$;

Чтобы найти первый член последовательности $c_1$, подставляем в формулу $n=1$:

$c_1 = 3 + \frac{1}{3} \cdot 1 = 3 + \frac{1}{3} = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $3\frac{1}{3}$.

2) $c_9$;

Чтобы найти девятый член последовательности $c_9$, подставляем в формулу $n=9$:

$c_9 = 3 + \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$

Ответ: $6$.

3) $c_{150}$;

Чтобы найти сто пятидесятый член последовательности $c_{150}$, подставляем в формулу $n=150$:

$c_{150} = 3 + \frac{1}{3} \cdot 150 = 3 + \frac{150}{3} = 3 + 50 = 53$

Ответ: $53$.

4) $c_{k+3}$.

Чтобы найти член последовательности с номером $k+3$, подставляем в формулу $n = k+3$ и упрощаем полученное выражение:

$c_{k+3} = 3 + \frac{1}{3}(k+3) = 3 + \frac{1}{3}k + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3 + \frac{1}{3}k + 1 = 4 + \frac{1}{3}k$

Ответ: $4 + \frac{1}{3}k$.

181. Последовательность ($x_n$) задана формулой $n$-го члена

$x_n = \frac{(-1)^{n-1}}{4}$. Найдите:

1) $x_1$;

2) $x_8$;

3) $x_{2k}$;

4) $x_{2k+1}$.

Дана последовательность ($x_n$), заданная формулой $n$-го члена: $x_n = \frac{(-1)^n - 1}{4}$.

1) x₁;

Для нахождения первого члена последовательности $x_1$ подставим в формулу значение $n=1$.
$x_1 = \frac{(-1)^1 - 1}{4} = \frac{-1 - 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
Ответ: $-0,5$.

2) x₈;

Для нахождения восьмого члена последовательности $x_8$ подставим в формулу значение $n=8$.
$x_8 = \frac{(-1)^8 - 1}{4}$.
Так как 8 — четное число, то $(-1)^8 = 1$.
$x_8 = \frac{1 - 1}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
Ответ: $0$.

3) x₂ₖ;

Для нахождения члена последовательности с четным номером $2k$ (где $k$ — натуральное число), подставим в формулу $n=2k$.
$x_{2k} = \frac{(-1)^{2k} - 1}{4}$.
Показатель степени $2k$ является четным числом при любом натуральном $k$, поэтому $(-1)^{2k} = 1$.
$x_{2k} = \frac{1 - 1}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
Ответ: $0$.

4) x₂ₖ₊₁;

Для нахождения члена последовательности с нечетным номером $2k+1$ (где $k$ — натуральное число или 0), подставим в формулу $n=2k+1$.
$x_{2k+1} = \frac{(-1)^{2k+1} - 1}{4}$.
Показатель степени $2k+1$ является нечетным числом при любом $k$, поэтому $(-1)^{2k+1} = -1$.
$x_{2k+1} = \frac{-1 - 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
Ответ: $-0,5$.