Страница 100 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. В школьной библиотеке имеется 6 различных изданий комедии А.С. Грибоедова «Горе от ума», 8 различных изданий романа А.С. Пушкина «Евгений Онегин» и 5 различных изданий романа М.Ю. Лермонтова «Герой нашего времени». Сколькими способами можно выбрать комплект из трёх этих книг?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило произведения. Поскольку выбор каждой из трёх книг является независимым событием, общее количество способов составить комплект будет равно произведению количества вариантов для выбора каждой книги.

У нас есть:
1. 6 различных изданий комедии А. С. Грибоедова «Горе от ума». Следовательно, есть $N_1 = 6$ способов выбрать эту книгу.
2. 8 различных изданий романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Следовательно, есть $N_2 = 8$ способов выбрать эту книгу.
3. 5 различных изданий романа М. Ю. Лермонтова «Герой нашего времени». Следовательно, есть $N_3 = 5$ способов выбрать эту книгу.

Чтобы найти общее число способов $N$ сформировать комплект из этих трёх книг, необходимо перемножить количество способов выбора для каждой из них:
$N = N_1 \times N_2 \times N_3$
Подставляем числовые значения:
$N = 6 \times 8 \times 5 = 240$

Таким образом, существует 240 способов выбрать комплект из трёх этих книг.
Ответ: 240.

161. Имеется 20 красных, 15 белых и 10 жёлтых роз. Сколькими способами можно выбрать две розы разного цвета?

Для того чтобы выбрать две розы разного цвета, необходимо рассмотреть все возможные комбинации пар цветов. Таких комбинаций три:

1. Красная и белая роза.
2. Красная и жёлтая роза.
3. Белая и жёлтая роза.

Посчитаем количество способов для каждой комбинации, используя правило произведения в комбинаторике, а затем сложим полученные результаты.

Количество способов выбрать одну красную розу из 20 и одну белую розу из 15 составляет:
$N_1 = 20 \times 15 = 300$

Количество способов выбрать одну красную розу из 20 и одну жёлтую розу из 10 составляет:
$N_2 = 20 \times 10 = 200$

Количество способов выбрать одну белую розу из 15 и одну жёлтую розу из 10 составляет:
$N_3 = 15 \times 10 = 150$

Общее количество способов выбрать две розы разного цвета равно сумме способов для всех возможных комбинаций:
$N = N_1 + N_2 + N_3 = 300 + 200 + 150 = 650$

Ответ: 650

162. Сколькими способами можно рассадить 15 человек в ряду, содержащем 15 мест?

Эта задача решается с помощью понятий комбинаторики, а именно — перестановок. Нам нужно найти количество способов, которыми можно расположить 15 уникальных людей на 15 уникальных местах.

Рассуждаем следующим образом:
На первое место в ряду мы можем посадить любого из 15 человек, что дает нам 15 вариантов.
Когда первый человек сел, на второе место остается 14 кандидатов, то есть 14 вариантов.
На третье место — 13 вариантов, и так далее, пока мы не дойдем до последнего места.
На последнее, 15-е место, останется только один человек, то есть 1 вариант.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов является произведением числа вариантов для каждого шага (для каждого места):
$N = 15 \times 14 \times 13 \times \dots \times 2 \times 1$

Это произведение называется «факториал 15» и обозначается как $15!$. Количество перестановок $P$ из $n$ элементов определяется формулой $P_n = n!$.
Для нашей задачи $n=15$, поэтому число способов равно:
$P_{15} = 15!$

Вычислим значение этого факториала:
$15! = 1\;307\;674\;368\;000$

Ответ: $15! = 1\;307\;674\;368\;000$ способов.

163. Сколько шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Для решения этой задачи нужно определить, сколько различных шестизначных чисел можно составить из предложенных семи цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Это задача на комбинаторику.

Шестизначное число состоит из 6 позиций (разрядов). Поскольку в условии не указано, что цифры в числе должны быть различными, мы исходим из того, что цифры могут повторяться. Таким образом, для каждой из шести позиций в числе мы можем выбрать любую из семи доступных цифр.

Применим правило умножения в комбинаторике:

• Для первой цифры (разряд сотен тысяч) есть 7 вариантов выбора (1, 2, 3, 4, 5, 6, или 7).
• Для второй цифры (разряд десятков тысяч) также есть 7 вариантов выбора.
• Для третьей цифры (разряд тысяч) — 7 вариантов.
• Для четвертой цифры (разряд сотен) — 7 вариантов.
• Для пятой цифры (разряд десятков) — 7 вариантов.
• Для шестой цифры (разряд единиц) — 7 вариантов.

Чтобы найти общее количество возможных шестизначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$N = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^6$

Вычислим это значение:

$7^6 = 117649$

Такая задача относится к размещениям с повторениями, которые вычисляются по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество элементов для выбора (у нас $n=7$), а $k$ — количество позиций, которые нужно заполнить (у нас $k=6$).

Ответ: 117649

164. Сколько пятизначных чисел, кратных пяти, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 3, 4, 5, 6, 7?

Для того чтобы пятизначное число было кратно пяти, его последняя цифра должна быть либо 0, либо 5. Из предложенного набора цифр {3, 4, 5, 6, 7} этому условию удовлетворяет только цифра 5. Следовательно, последняя цифра искомого числа должна быть 5.

Нам нужно составить пятизначное число, в котором все цифры различны. Это означает, что мы должны использовать каждую из пяти данных цифр ровно один раз. Мы имеем 5 позиций для цифр в числе.

1. Начнем с последней позиции (разряд единиц). Как мы установили, здесь может стоять только цифра 5. Таким образом, у нас есть 1 вариант для этой позиции.

_ _ _ _ 5

2. Теперь рассмотрим оставшиеся четыре позиции. Для их заполнения у нас остались цифры {3, 4, 6, 7}. Нам нужно расставить эти 4 различные цифры по 4 оставшимся местам. Количество способов это сделать равно числу перестановок из 4 элементов ($P_4$).

- На первую позицию можно поставить любую из 4 оставшихся цифр (4 варианта).

- На вторую позицию можно поставить любую из 3 оставшихся цифр (3 варианта).

- На третью позицию можно поставить любую из 2 оставшихся цифр (2 варианта).

- На четвертую позицию остается последняя цифра (1 вариант).

Общее количество способов расставить эти цифры равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4!$

Вычислим значение факториала:

$4! = 24$

Таким образом, существует 24 различных пятизначных числа, которые можно составить из данных цифр, чтобы они были кратны пяти и все их цифры были различны.

Ответ: 24

165. Рассматриваются четырёхзначные числа, в записи которых дважды присутствует цифра 5 и по одному разу каждая из цифр 3 и 4. Сколько существует таких чисел?

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных четырёхзначных чисел, которые можно составить из набора цифр {3, 4, 5, 5}. Так как в наборе нет нуля, любая перестановка этих цифр даст четырёхзначное число. Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Формула перестановок с повторениями
Мы имеем 4 цифры, из которых две одинаковые. Количество перестановок из $n$ элементов, среди которых есть группы одинаковых элементов размерами $n_1, n_2, \ldots, n_k$, вычисляется по формуле:
$P = \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!}$
В нашем случае общее количество цифр $n=4$. Цифра 3 встречается 1 раз ($n_1=1$), цифра 4 — 1 раз ($n_2=1$), а цифра 5 — 2 раза ($n_3=2$).
Подставляем значения в формулу:
Количество чисел = $\frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 2!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{24}{2} = 12$.

Способ 2: Комбинаторный подход
1. Сначала выберем места для двух одинаковых цифр 5. У нас есть 4 позиции в числе, и нам нужно выбрать 2 из них. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ способов.
2. После того, как мы разместили две пятёрки, у нас осталось 2 свободных места и 2 различные цифры (3 и 4). Количество способов расставить 2 различные цифры на 2 оставшихся места равно числу перестановок из 2 элементов:
$P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2$ способа.
3. Чтобы найти общее количество чисел, нужно перемножить количество способов для каждого независимого шага (согласно правилу произведения в комбинаторике):
$6 \times 2 = 12$.

Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 12

166. В коробке лежат 10 чёрных и 25 синих шаров. Какова вероятность того, что выбранный наугад шар окажется:

1) чёрным;

2) синим;

3) чёрным или синим;

4) красным?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдём общее число шаров в коробке. Это и будет общее число исходов $n$.

$n = 10 \text{ (чёрных)} + 25 \text{ (синих)} = 35$ шаров.

1) чёрным;

Событие заключается в том, что выбранный шар окажется чёрным. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству чёрных шаров в коробке.

$m = 10$.

Теперь вычислим вероятность:

$P(\text{чёрный}) = \frac{10}{35} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

2) синим;

Событие заключается в том, что выбранный шар окажется синим. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству синих шаров.

$m = 25$.

Вычислим вероятность:

$P(\text{синий}) = \frac{25}{35} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$

3) чёрным или синим;

Событие заключается в том, что выбранный шар окажется чёрным или синим. Поскольку в коробке лежат только чёрные и синие шары, любой наугад выбранный шар будет либо чёрным, либо синим. Такое событие называется достоверным.

Число благоприятных исходов $m$ равно общему числу шаров: $m = 10 + 25 = 35$.

Вероятность этого события:

$P(\text{чёрный или синий}) = \frac{35}{35} = 1$.

Ответ: $1$

4) красным?

Событие заключается в том, что выбранный шар окажется красным. В коробке нет красных шаров, поэтому вытащить красный шар невозможно. Такое событие называется невозможным.

Число благоприятных исходов $m$ равно нулю: $m = 0$.

Вероятность этого события:

$P(\text{красный}) = \frac{0}{35} = 0$.

Ответ: $0$

167. В лотерее разыгрывается 20 ноутбуков, 30 телевизоров и 40 фотоаппаратов. Всего выпущено 5000 лотерейных билетов. Какова вероятность, купив один билет:

1) выиграть фотоаппарат;

2) выиграть какой-нибудь приз;

3) не выиграть никакого приза?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности события $A$, которое вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

В данном случае общее число элементарных исходов $n$ равно общему количеству выпущенных лотерейных билетов: $n = 5000$.

1) выиграть фотоаппарат;

Пусть событие $A$ – выигрыш фотоаппарата. Количество фотоаппаратов, которые разыгрываются в лотерее, равно 40. Следовательно, число благоприятствующих этому событию исходов $m = 40$.

Вероятность выиграть фотоаппарат равна:

$P(A) = \frac{40}{5000} = \frac{4}{500} = \frac{1}{125} = 0,008$

Ответ: 0,008.

2) выиграть какой-нибудь приз;

Пусть событие $B$ – выигрыш какого-нибудь приза. Найдем общее количество призов. Оно равно сумме количества ноутбуков, телевизоров и фотоаппаратов:

$m = 20 (\text{ноутбуков}) + 30 (\text{телевизоров}) + 40 (\text{фотоаппаратов}) = 90 (\text{призов})$

Таким образом, число исходов, благоприятствующих выигрышу любого приза, равно 90.

Вероятность выиграть какой-нибудь приз равна:

$P(B) = \frac{90}{5000} = \frac{9}{500} = 0,018$

Ответ: 0,018.

3) не выиграть никакого приза?

Пусть событие $C$ – не выиграть никакого приза. Это событие является противоположным (дополнительным) к событию $B$ (выиграть какой-нибудь приз). Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1, то есть $P(C) = 1 - P(B)$.

Используя результат из предыдущего пункта, находим:

$P(C) = 1 - P(B) = 1 - 0,018 = 0,982$

Другой способ – найти количество билетов, которые не являются выигрышными. Это общее количество билетов минус общее количество призов:

$m = 5000 - 90 = 4910$

Тогда вероятность не выиграть никакой приз равна:

$P(C) = \frac{4910}{5000} = \frac{491}{500} = 0,982$

Ответ: 0,982.

168. Из натуральных чисел от 1 до 24 включительно ученик наугад называет одно. Какова вероятность того, что это число является делителем числа 24?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ – это общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае, ученик выбирает одно натуральное число из диапазона от 1 до 24 включительно. Таким образом, общее число возможных исходов $n$ равно 24.

$n = 24$

Благоприятствующим событием является выбор числа, которое является делителем числа 24. Найдем все делители числа 24:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Все эти делители находятся в диапазоне от 1 до 24. Подсчитаем их количество – их всего 8. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m$ равно 8.

$m = 8$

Теперь подставим найденные значения в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{8}{24}$

Сократим полученную дробь на 8:

$P = \frac{1}{3}$

Таким образом, вероятность того, что названное число является делителем числа 24, равна $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

169. Какова вероятность того, что наугад выбранное двузначное число делится нацело на 17?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности: $P = m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Определим общее число всех равновозможных исходов ($n$).

Нас интересуют все двузначные числа. Наименьшее двузначное число — 10, а наибольшее — 99. Количество двузначных чисел равно:

$n = 99 - 10 + 1 = 90$.

Таким образом, существует 90 различных двузначных чисел.

2. Определим число благоприятствующих исходов ($m$).

Благоприятствующим исходом является выбор двузначного числа, которое делится нацело на 17. Найдем все такие числа путем умножения 17 на натуральные числа, пока результат остается двузначным:

• $17 \cdot 1 = 17$
• $17 \cdot 2 = 34$
• $17 \cdot 3 = 51$
• $17 \cdot 4 = 68$
• $17 \cdot 5 = 85$

Следующее число, $17 \cdot 6 = 102$, уже трехзначное. Следовательно, существует 5 двузначных чисел, которые делятся на 17. Таким образом, $m = 5$.

3. Вычислим искомую вероятность.

Подставим значения $n$ и $m$ в формулу вероятности:

$P = m/n = 5/90$

Сократим полученную дробь:

$P = 1/18$

Ответ: $1/18$.